2.1.1等式性质与不等式性质2019.9

2.1.1等式性质与不等式性质在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系。如：多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、轻与重，不超过或不少于等，类似于这样的关系，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示。一、相等关系和不等关系你能用不等式（组）表示这种不等关系吗？问题1：你能读懂高速公路上限速牌子的含义吗？设该路段小汽车的速度为vkm/h60≤v≤100设该路段大巴车、货车的速度为vkm/h60≤v≤80问题2：在初中，我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，（1）如果ab,那么a±cb±c（2）如果ab,c0那么acbc那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质么？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实。二、关于两个实数大小关系的基本事实ab=a－b0a=b=a－b=0ab=a－b0把两个实数大小的问题转化为判断差值符号问题比较两实数大小的方法—作差比较法由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：例1.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小.答案：(a＋3)(a－5)(a＋2)(a－4)练习：已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小.答案：(x2＋1)2x4＋x2＋1练习：比较x2与2x－3的大小.三、等式的性质①如果a=b,那么b=a②如果a=b,b=c那么a=c③如果a=b,那么a±c=b±c④如果a=b,那么ac=bc⑤如果a=b,且c≠0，那么a/c=b/c性质①②反映了相等关系自身的特性，性质③④⑤是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性。类比等式的基本性质，你能猜出不等式的基本性质，并加以证明吗？四、不等式的性质性质(3)如何证明？能用文字语言表述性质（3）吗？可以用图形表述吗？性质名称备注（1）abba对称性充要（2）abbcac，传递性充分不必要（3）++abacbc可加性充要（4）0abcacbc，0abcacbc，可乘性充分不必要（5）abcdacbd，同向可加充分不必要（6）00abcdacbd，同向同正可乘充分不必要（7）0,2nnababnNn可乘方充分不必要符号语言：文字语言：图形语言：用多种语言表达不等式的性质性质3如果ab,那么a＋cb＋c不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。baa+cb+cA1B1AB例2.倒数法则：已知0ab，比较11,ab的大小；已知0ab，比较11,ab的大小；如果ab，且ab，同号，那么11ab练习.P40练习1、P40,练习2、3本节收获1.知识：2.方法、思想：3.学习习惯：四、不等式的性质①ab=ba②ab,bc=ac③如果a=b,那么a±c=b±c④如果a=b,那么ac=bc⑤如果a=b,且c≠0，那么a/c=b/c探究：在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？一般地，a、bR，有a2＋b2≥2ab当且仅当a=b，等号成立.三、重要不等式如何证明？作差比较法的步骤是：1.作差；2.变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3.判断符号；4.作出结论．归纳:练习.P40,练习2、3