专题07-三角函数(基础篇-)-2016年高考数学备考艺体生百日突围系列(原卷版)

专题7三角函数[来源:学#科#网Z#X#X#K同角三角函数的基本关系﹑诱导公式【背一背基础知识】1.掌握同角三角函数的基本关系式：22sincos1,sintancos.2.诱导公式诱导公式一：sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，其中kZ新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆诱导公式二：sin(180)sin；cos(180)cos，tan(180)tan诱导公式三：sin()sin；cos()cos，tan()tan诱导公式四：sin(180)sin；cos(180)cos，tan(180)tan诱导公式五：sin(360)sin；cos(360)cos，tan(360)tan诱导公式六：sin(90)cos；cos(90)sin，tan(90)cot诱导公式七：sin(90)cos；cos(90)sin，tan(90)tan－2Zkk222sin－sinsin－sin－sinsincoscoscoscos－cos－coscoscossin－sintan－tan－tantan－tantancot－cot记忆方法：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”，要把角化成形式为90k（k为常整数）；奇变偶不变是指：当k为偶数时，三角函数名称不变，即前面若是正弦，后面也是正弦，名称不变，当k为偶数时，三角函数名称变，即前面若是正弦，后面也是余弦，名称变；符号看象限是指：把看成锐角时，为第几象限角，由原三角函数在各象限符号决定正负号，具体一二象限正弦为正，一四象限余弦为正，一三象限正切为正，其它为负．2.典型例题：例1已知53)sin(，且为第四象限的角，则)2cos(=．例2若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（）A．125B．125C．512D．512【练一练趁热打铁】1.已知21sin()34，则sin()3.2.已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.三角函数的图象与变换【背一背基础知识】2.正弦函数sinyx，余弦函数cosyx，正切函数tanyx的图象与性质性质sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域[来源:Zxxk.Com]1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值，也无最小值周期性22奇偶性sin()sin,xx奇函数cos()cos,xx偶函数tan()tan,xx奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kk对称轴xkk，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心,02kk无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.2．函数()sin()fxAx的问题：(1)“五点法”画图：分别令30,,,,222x，求出五个特殊点；(２)由sinyx的图象变换出()sin()fxAx的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。i.函数图像的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数yfx向左平移0个单位，得到函数yfx的图像;把函数yfx向右平移0个单位，得到函数yfx的图像;把函数yfx向上平移0个单位，得到函数yfx的图像;把函数yfx向下平移0个单位，得到函数yfx的图像.伸缩变换:把函数yfx图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1，得到函数01yfx的图像;把函数yfx图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1，得到函数1yfx的图像;把函数yfx图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A，得到函数1yAfxA的图像;把函数yfx图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A，得到函数01yAfxA的图像.ii.由sinyx的图象变换出sinyx0的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sinyx的图象向左0或向右0平移个单位，再将图象上各点的再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍(0)，便得sinyx的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sinyx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0)平移||个单位，便得sinyx的图象。注意：函数sin()yx的图象，可以看作把曲线sinyx上所有点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动个单位长度而得到。2.典型例题：例1要得到函数4ysinx（3）的图象，只需要将函数4ysinx的图象（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位例2已知a是实数，则函数()1sinfxaax的图象不可能．．．是()分析：函数()1sinfxaax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为a，周期为2Ta，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．【练一练趁热打铁】1.将函数xy2sin（Rx）的图像分别向左平移m（0m）个单位，向右平移n（0n）个单位，所得到的两个图像都与函数62sinxy的图像重合，则nm的最小值为（）A．32B．65C．D．342.如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(6x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.求三角函数的解析式【背一背基础知识】1.由sinyAx的图象求其函数式：已知函数sinyAx的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．由()sin()fxAxb的图象求其函数式，确定()sin()fxAxb的解析式的步骤：(1)求,Ab确定函数的最大值M和最小值m，则_,22MmMmAb.(2)求，确定函数的周期T，则2T.(3)求，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时,,Ab已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点,0作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为0x；“第二点”(即图象的“峰点”)为2x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为32x；“第五点”为2x.2.利用图象变换求解析式：由sinyx的图象向左0或向右0平移个单位，，得到函数sinyx，将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，便得sinyx，将图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(0A)，便得sinyAx.有关变换法需注意两点:①周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;②在不同的变换次序下平移变换的量可能不同.2.典型例题：例1把函数sin()yxxR图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把图像上所有的点向左平行移动6个单位长度，得到的图像所表示的函数是（）A．sin2)()3yxxR（B．sin+)()26xyxR（C．sin2+)()3yxxR（D．2sin2+)()3yxxR（分析：先根据横坐标缩短到原来的12倍时，变为原来的2倍进行变换，再根据左加右减的原则进行平移，即可得到答案．平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的．例2已知函数()cos()fxAx（0,0,2A）的部分图象如上图所示，则)(xf的函数解析式为．分析：根据函数图象求出,AT，求出，利用点,02在曲线上，求出，得到解析式，由()cos()fxAx的部分图象确定其解析式，正确视图，选择适当的点的坐标，能够简化计算过程，解题的关键是初相的求法要注意．【练一练趁热打铁】1.函数sin0,0,2fxAxA的部分图象如图所示，则函数yfx对应的解析式为（）A.sin26yxB.sin26yxC.cos26yxD.cos26yx2.已知函数()sin(0,0)fxAxA的最小正周期为2，且1()16f，则函数()yfx的图象向左平移13个单位所得图象的解析式为（）（A）2sin()3yx（B）1sin()23yx（C)12sin()3yx(D)11sin()23yx三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性【背一背基础知识】经过恒等变形化成“sin()yAx，cos()yAx，tan()yAx”的yx2O3223—3Oxy161112形式，利用xysin，xycos，xytan的单调性、奇偶性、对称性和周期性来解1.三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk2.对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0)kkZ；cosyx的对称轴为xk，对称中心为(,0)2k；tanyx无对称轴，对称中心为(,0)2kkZ.3.求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式2T，另外还有