专题24-等比数列及其前n项和-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍(解析版)

1．理解等比数列的概念2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4．了解等比数列与指数函数的关系热点题型一等比数列的基本运算例1、已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18。(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由。(2)由(1)有Sn＝3·[1－－n]1－－＝1－(－2)n。若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012。当n为偶数时，(－2)n＞0.上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，则n≥11。综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}。【提分秘籍】1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用。2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论。【举一反三】设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝__________。解析：显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1a1－q31－q＝7，解得a1＝4q＝12或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a1－q51－q＝41－1251－12＝314。答案：314热点题型二等比数列的判定与证明例2、已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数。(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。【提分秘籍】证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明anan－1＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a2n＝an－1·an＋1。若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法。学.科.网【举一反三】设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3，求证：数列{bn}是等比数列，并求an。热点题型三等比数列的性质及其应用例3．(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4B．6C．8D．8－42(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16解析：(1)在等比数列中，a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8。(2)由等比数列性质得，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，所以(S2n－2)2＝2×(14－S2n)。又S2n0，得S2n＝6，又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，所以(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)。解得S4n＝30。【提分秘籍】等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。【举一反三】在等比数列中，已知a1a38a15＝243，则a39a11的值为()A．3B．9C．27D．81解析：设数列{an}的公比为q，∵a1a38a15＝243，a1a15＝a28，∴a8＝3，∴a39a11＝a38q3a8·q3＝a28＝9。答案：B1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B2．【2017课标3，理14】设等比数列na满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.【答案】8【解析】设等比数列的公比为q，很明显1q，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：12121311113aaaqaaaq，①，②，由②①可得：2q，代入①可得11a，由等比数列的通项公式可得：3418aaq.1.【2016高考新课标1卷】设等比数列na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．【答案】642.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记1,2,100U…，.对数列*nanN和U的子集T，若T,定义0TS;若12,,kTttt…，，定义12+kTtttSaaa….例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.（1）求数列na的通项公式；（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT…，，求证：1TkSa；（3）设,,CDCUDUSS,求证：2CCDDSSS.【答案】（1）13nna（2）详见解析（3）详见解析【解析】（1）由已知得1*13,nnaanN.于是当{2,4}T时，2411132730rSaaaaa.又30rS，故13030a，即11a.所以数列{}na的通项公式为1*3,nnanN.（2）因为{1,2,,}Tk，1*30,nnanN，所以1121133(31)32kkkrkSaaa.因此，1rkSa.（3）下面分三种情况证明.①若D是C的子集，则2CCDCDDDDSSSSSSS.②若C是D的子集，则22CCDCCCDSSSSSS.③若D不是C的子集，且C不是D的子集.【2015高考浙江，理3】已知{}na是等差数列，公差d不为零，前n项和是nS，若3a，4a，8a成等比数列，则（）A.140,0addSB.140,0addSC.140,0addSD.140,0addS【答案】B.【解析】∵等差数列}{na，3a，4a，8a成等比数列，∴dadadada35)7)(2()3(11121，∴ddaaaaS32)3(2)(211414，∴03521dda，03224ddS，故选B.【2015高考安徽，理14】已知数列{}na是递增的等比数列，14239,8aaaa，则数列{}na的前n项和等于.【答案】21n【解析】由题意，14231498aaaaaa，解得141,8aa或者148,1aa，而数列{}na是递增的等比数列，所以141,8aa，即3418aqa，所以2q，因而数列{}na的前n项和1(1)1221112nnnnaqSq.学.科.网1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列【答案】D【解析】因为在等比数列中an，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列．2．（2014·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.【答案】1【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.3．（2014·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．【答案】504．（2014·全国卷）等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q，根据题意可得，a1q3＝2，a1q4＝5，解得a1＝16125，q＝52，所以an＝a1qn－1＝16125×52n－1＝2×52n－4，所以lgan＝lg2＋(n－4)lg52，所以前8项的和为8lg2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg52＝8lg2＋4lg52＝4lg4×52＝4.5．（2014·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋（4n－2）]2＝2n2.令2n260n＋800，即n2－30n－4000，解得n40或n－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.6．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an＜32.【解析】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3an＋12.又a1＋12＝32，所以an＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以an＋12＝3n2，因此数列{an}的通项公式为an＝3n－12.(2)证明：由(1)知1an＝23n－1.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以13n－1≤12×3n－1，即1an＝23n－1≤13n－1.于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝321－13n32.所以1a1＋1a2＋…＋1an32.7．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.当n为偶数时，Tn＝1＋13－13＋15＋…＋12n－3＋12n－1－12n－1＋12n＋1＝1－12n＋1＝2n2n＋1.当n为奇数时，Tn＝1＋13－13＋15＋…－12n－3＋12n－1＋12n－1＋12n＋1＝1＋12n＋1＝2n＋22n＋1.所以Tn＝2n＋22n＋1，n为奇数，2n2n＋1，n为偶数.或Tn＝2n＋1＋（－1）n－12n＋18.（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．9．（2014·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－12【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12.10．（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1