牛顿迭代法及其应用

重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）编号毕业设计（论文）题目NewtonRaphson算法及其应用二级学院数学与统计学院专业信息与计算科学班级108010101学生姓名侯杰学号10801010106指导教师职称时间重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）2目录摘要…………………………………………………………………………………3Abstract………………………………………………………………………………3一、绪论………………………………………………………………………………41.1选题的背景和意义……………………………………………………………41.2牛顿迭代法的优点及缺点……………………………………………………4二、NewtonRaphson算法的基本原理………………………………………………52.1NewtonRaphsn算法……………………………………………………………52.2一种修正的NewtonRaphsn算法………………………………………………72.3另外一种NewtonRaphsn算法的修正…………………………………………11三、NewtonRaphson算法在计算方程中的应用……………………………………18四、利用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率…………………………………214.1附息国债实时收益率的理论计算公式………………………………………224.2附息国债实时收益率的实际计算方法………………………………………224.3利用牛顿迭代法计算…………………………………………………………23五、结论………………………………………………………………………………26致谢……………………………………………………………………………………27参考文献………………………………………………………………………………28重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）3摘要牛顿在17世纪提出的一种近似求解方程的方法，即牛顿拉夫森迭代法.迭代法是一种不断的用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或被称为一次解法，即一次性解决的问题.迭代法又分为精确迭代以及近似迭代.“牛顿迭代法”就属于近似迭代法，本文主要讨论的就是牛顿迭代法，方法本身的发现到演变到修正的过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，以及用牛顿迭代法解方程，利用牛顿迭代法计算国债的实时收益率。关键词：NewtonRaphson迭代算法；近似解；收益率；AbstractInthe17thcentury，Newtonraisedbyanapproximatemethodofsolvingequations，thatisNewtonIteration，aprocessofrecursionnewvalueconstantlywiththeoldvalueofvariable.Correspondwiththeiterativemethodisadirectmethodorasasolution，thatisaone-timeproblemsolving.Iterationisdividedintoexactiterativeandapproximateiterative.NewtonIterativeMethodareapproximateiterativemethod.ThisarticlemainlyfocusesontheNewtonIteration.Themaincontentsofthisarticleincludethediscovery，evolutionandamendmentprocessofthismethods;animproveofavoidingcalculatingNewtonIterationwithsecond-orderderivative;NewtonRaphsoniterativemethodofsolvingequationsandCalculatingthereal-timeyieldofgovernmentbonds.Keywords:NewtonIterativeAlgorithm;approximatesolution;Yield；重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）4一、绪论1.1选题的背景和意义牛顿拉夫森迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数)(xf的泰勒级数的前面几项来寻找方程0)(xf的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程0)(xf的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。（2）建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。（3）对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。1.2牛顿迭代法的优点及缺点迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程0)(xf的单根附近具有平方收敛，重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）5而且该法还可以用来求方程的重根、复根。牛顿法是方程求根的一个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。假定有一个函数)(xfy，方程0)(xf在rx处有一个根，对于此根，先估计一个初始值0x（可以是猜测的）。得到一个更好的估计值1x。为此0)(xxf处作该曲线切线，并将其延长与x轴相交。切线与x轴的交点通常很接近r，我们用它作为下一个估计值1x，求出1x后，用1x代替0x。重复上述过程，在1xx处作曲线的另一条切线，并将其延长至与x轴相交，用切线的x轴截距作为下一个近似值2x……这样继续下去，所得出的这个x轴截距的序列通常迅速接近根r。缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。二、NewtonRaphson算法的基本原理2.1NewtonRaphsn算法牛顿迭代法(Newtonmethod)又称为牛顿-拉夫森方法(Newton-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种近似求解方程的方法.多数方程不存在的求根公式，因此求精确根相当困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就会显得特别重要.方法在使用函数)(xf的泰勒级数的前面几项来寻找方程0)(xf的根.牛顿迭代法是求方程的根的重要方法之一，其最大的优点是在方程0)(xf的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根.牛顿迭代法方法简单，每次迭代都是简单的去重复运算，易于编制程序；与求解线性方程的精确法相比较，简单迭代法对于字长位数较少的计算机更加的适用，它可以用增加迭代的次数来弥补字长位数少的不足.初值可以任意的取，因而中间结果偶重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）6然的错误不影响最后结果的获得。多数情况下是得不到一般的数学方法所需的函数表达式，或者难以找到原函数。线性方程组中的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机的工作量太大而无法实施。对于这些问题，都可以利用数值的方法来求解，在计算机中实现的数值方法也被称之为数值算法。牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。迭代法的一个主要功能：计算方程时可以比较的快速。解非线性方程0)(xf的Newton-Rapfson算法是把非线性的方程线性化为一种近似方法.把)(xf的0x点附近展开泰勒(Taylor）级!2)()()()()()(0''200'00xfxxxfxxfxfxf.取其线性部分用来作为非线性方程0)(xf的近似方程，则有：0))(()(00'0xxxfxf.设0)(0'xf，则其解为：)()(0'001xfxfxx.再把)(xf在1x附近展开泰勒(Taylor)级数，取其现行部分作为0)(xf的近似方程.若0)(0'xf，则得：)()(1'112xfxfxx.这样，得到牛顿(Newton-Rapfson)算法的一个迭代的序列：)()('1nnnnxfxfxx.牛顿迭代法有十分明显的几何意义，如下图所示：重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）7当选取初值0x以后，过（0x，)(0xf）做)(xf的切线，其切线的方程为：))(()(00'0xxxfxfy.求此切线方程和x轴的交点，即得：)()(0'001xfxfxx.牛顿迭代法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法.：2.2一种修正的NewtonRaphsn算法给出了牛顿(Newton-Rapfson)算法的一种修正的形式，并证明了当21r时修正的牛顿(Newton-Rapfson)算法是二阶收敛的，当参数21r时是三阶收敛时，数值实验得出结果，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿(Newton-Rapfson)算法具有一定的优势.众所周知的，数值求解非线性方程0)(xf的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本的方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根.牛顿图1重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）8法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法.文献［8］中利用Newton-Rapfson迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出的一种多点迭代的算法.设)(xf满足下述条件：bacxf,)(2，0)()(bfaf.0)('xf，)(''xf在ba,上保号。（A)根据微分中值定理，即存在),(ba，使得：)()()('fabafbf，而21limabaab.因此，当b与a的距离无限接近时有：)(21aba.也就是说，在区间),(ba不甚大的时候，中值点一定在其渐近的位置)(21aba附近，并随区间变小而趋于其渐近的位置.图所示的迭代算法构造图本方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点而选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它的点，但其计算精度却相当的高，它的某一种特殊情形恰是通常的Newton-Rapfson迭代算法.为了更加直OADCPyx图2重庆理工大学毕业论文（NewtonRaphson算法及其应用）9观起见，我们通过几何直观图来构造这种迭代算法.设)(xf满足条件(A)，当选定初值0x(仅要求0)()(''0xfxf)，如图所示，作交点的切线交x轴于B0,)()(0'00xfxfx，AQ线段的斜率为：)()()()()(0'0000'000xfxfxxxfxfxfxf.由微分中值定理得知，存在00'00,)()(xxfxfx使得：)()()()()(0'0000'000xfxfxxxfxfxfxf)(0'xf