等比数列求和公式及性质

北师大版高中数学必修5第一章《数列》等差数列等比数列定义通项公式等差（等比）中项下标和公式2abab1nnaqaSnSn=1()2naan1(1)2nnnSnad？an－an-1=d(n≥2)(n≥2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1·qn-1(q≠0)an=am·qn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq问题提出小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍，試计算30天后两人各得的钱数.设小林30天得到的钱数T30)465(万元23030)(130321T30（分）22221S293230设小明30天得到的钱数S30引入新课302S即23293022222.(2)30S)1(.222212932同学们考虑如何求出这个和？302S).22221(22932303021S≈1073.741万元分1073741823123030S这种求和的方法,就是错位相减法!301230302SS推导公式等比数列前n项求和公式已知：等比数列{an}，a1，q，n求：Sn解：Sn=a1+a2+a3+a4+…+anqsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23…a1qn-1=a1+a1q++++作减法23111111nnaqaqaqaqaq1(1)1nnaqSq若：q≠1若q=1,1nSnaSn={na1(1-q)1-q(q=1)(q=1)n·a1∴6(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以7Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q1)(q(二）公式推导).1(,1),1(,111qqqaaqnaSnn于是).1(,1)1(,11qqqaaqnaSnn时已知nqa,,1时已知naqa,,1等比数列前n项求和公式通项公式:an=a1•qn-1等比数列的前n项和例题解:例5（1）求等比数列的前10项的和.,81,41,211，10,21,11nqa21121111010S.5121023qqaSnn1)1(1（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3263-13-12233）（）解（S例6五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在5年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少？（结果精确到万元）1解每年的利税组成一个首项a300，公比q110%的等比数列.从今年起,第5年的利税为:55561aaq300(110%)3001.1483(万元)这5年的总利润为:552a(q1)1.11S3001.12015(万元)q11.11等比数列的前n项和例题等比数列的前n项和练习11.根据下列条件，求相应的等比数列的nanS;6,2,3)1(1nqa;5,5.1,4.2)2(1nqa;5,21,8)3(1nqa.6,31,7.2)4(1nqa.18921)21(366S.433)5.1(1])5.1(1[4.255S.231211211855S.40913113117.266S等比数列的前n项和练习2-32.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.,2,11qa解：,21,231qa解：.1521)21(144S.102321)21(11010S.1008151023410SS从第5项到第10项的和:3.求等比数列从第3项到第7项的和.,83,43,23.1283812112112377S从第3项到第7项的和:.1281534912838143237S作业：P30.A组8（写在课本）9.10（写在作业本）152、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到第10项的和为S21212121410410SS21212116465qqaS或)1()1()1(22nnyxyxyx3、求和：北师大版高中数学必修5第一章《数列》1.{}________2.________________3.:4.{}nnnnnaaanSa定义：为等比数列通项公式：推广：前项和公式重要结论：若是等比数列1nnaa常数11nnaaqnmmaq11(1)(1)1(1)naqqqnaqnnakq（2）,mnpq若mnpqaaaa则（1）nmnmaaqnmnmaqaq求（3）若数列是等比数列，则也是等比数列{}na23243,,,,kkkkkkkSSSSSSSkqq（4）等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列等比数列判定方法：（1）定义法：（2）递推公式法：（3）看通项法：（4）看前n项和法：1nnaa常数211nnnaaannakqnnSkkq例一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an+1=4/5an因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列热气球在n分时间里上升的总高度.125125)54(11251)1(121mqqaaaaSnnnn不可能超过这个热气球上升的高度答例做边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内做内接正三角形，然后再做新三角形的内切圆.如此下去求前n个内切圆的面积和.解设第n个正三角形的内切圆的半径为rn从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的1/2，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的1/2，故11121)21(6321a63212163332130tan21nnnnnaarrrraaar所以的等比数列，公比为是首项为数列设前n个内切圆的面积之和为Sn，则：nnnnNaaarS411941112344114116341414112221212比数列的等，公比为首项为个内切圆面积组成一个4121rn练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是，公比是，那么1aq23316181213121qaqaqa82331612qaa答：这个数列的第1项与第2项分别为与8316消元练习、求和231(1)nnaaaaa22111(2).()()()(0,1,1)nnxxxyyyxxy分析：解：（1）该数列为等比数列，记为{an}，其中a1=a,q=a当q=1时,Sn=na当q≠1时,Sn=(1)1naaa（1）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习:.S.60,48S,S)2(32的值求且项和前的是等比数列已知nnnnnSna思考：求和：.nnnS2164834221为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.）设，其中为等差数列，nnnnna212nn2121（提示：你能登上月球吗?能?!只要你把你手上的纸对折38次我就能沿着它登上月球。哇…M=1+2+4+8+…+2（页）37列式：2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比q1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及n公式的应用；可以求形如的数列的和，其中nnyxnxny3.反思推导求和公式的方法——错位相减法，等差数列，为等比数列.为课堂小结：课本p31习题1-3B组2、3.4布置作业: