2007年湖北省高考数学试卷(理科)

第1页（共23页）2007年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果232(3)nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．102．（5分）将2cos()36xy的图象按向量(,2)4a平移，则平移后所得图象的解析式为()A．2cos()234xyB．2cos()234xyC．2cos()2312xyD．2cos()2312xy3．（5分）设P、Q是两个集合，定义集合{|PQxxP且}xQ为P、Q的“差集”，已知2{|10}Pxx，{||2|1}Qxx，那么PQ等于()A．{|01}xxB．{|01}xx„C．{|12}xx„D．{|23}xx„4．（5分）平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m和n，给出下列四个命题：①mnmn；②mnmn；③m与n相交m与n相交或重合；④m与n平行m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是()A．1B．2C．3D．45．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且2q…，则1(1)1lim(1(1)1pnqnn)A．0B．1C．pqD．11pq6．（5分）若数列{}na满足212(nnappa为正常数），则称{}na为“等方比数列”．甲：数列{}na是等方比数列；乙：数列{}na是等比数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件第2页（共23页）B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．（5分）双曲线22122:1(0,0)xyCabab的左准线为l，左焦点和右焦点分别为1F和2F；抛物线2C的准线为l，焦点为2F；1C与2C的一个交点为M，则12112||||||||FFMFMFMF等于()A．1B．1C．12D．128．（5分）已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nA和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．59．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量(,)amn与向量(1,1)b的夹角为，则(0,]2的概率是()A．512B．12C．712D．5610．（5分）已知直线1(xyab是非零常数）与圆22100xy有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A．60条B．66条C．72条D．78条二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知函数2yxa的反函数是3ybx，则a；b．12．（5分）复数zabi，a，bR，且0b，若24zbz是实数，则有序实数对(,)ab可以是．（写出一个有序实数对即可）13．（5分）设变量x，y满足约束条件30023xyxyx……剟，则目标函数2xy的最小值为．14．（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，第3页（共23页）室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为1()(16taya为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知ABC的面积为3，且满足06ABAC剟，设AB和AC的夹角为．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求函数2()2sin()3cos24f的最大值与最小值．17．（12分）分组频数[1.30，1.34)4[1.34，1.38)25[1.38，1.42)30[1.42，1.46)29[1.46，1.50)10[1.50，1.54)2合计100在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分第4页（共23页）组如右表：（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）估计纤度落在[1.38，1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30，1.34)的中点值是1.32)作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（12分）如图，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，(0)2VDC．（Ⅰ）求证：平面VAB平面VCD；（Ⅱ）当确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为6．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点(0,)Cp作直线与抛物线22(0)xpyp相交于A、B两点．（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3gxalnxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；（Ⅱ）求证：()()fxgx…(0)x．21．（14分）已知m，n为正整数．（Ⅰ）用数学归纳法证明：当1x时，(1)1mxmx…；（Ⅱ）对于6n…，已知11(1)32nn，求证1(1)()32nmmn，1m，2，n；第5页（共23页）（Ⅲ）求出满足等式345(2)(3)nnnnnnn的所有正整数n．第6页（共23页）2007年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）如果232(3)nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10【解答】解：由展开式通项有225132(3)()3(2)rnrrrnrrnrrnnTCxxxð由题意得5250(0,1,2,,)2nrnrrn，故当2r时，正整数n的最小值为5，故选：B．2．（5分）将2cos()36xy的图象按向量(,2)4a平移，则平移后所得图象的解析式为()A．2cos()234xyB．2cos()234xyC．2cos()2312xyD．2cos()2312xy【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点(,)Pxy，(,)Pxy，则(,2)(,),244aPPxxyyxxyy，代入到已知解析式中可得选A法二由(,2)4a平移的意义可知，先向左平移4个单位，再向下平移2个单位．故选：A．3．（5分）设P、Q是两个集合，定义集合{|PQxxP且}xQ为P、Q的“差集”，已知2{|10}Pxx，{||2|1}Qxx，那么PQ等于()A．{|01}xxB．{|01}xx„C．{|12}xx„D．{|23}xx„【解答】解：2{|10}Pxx化简得：{|02}Pxx而{||2|1}Qxx化简得：{|13}Qxx定义集合{|PQxxP，且}xQ，第7页（共23页）{|01}PQxx„故选：B．4．（5分）平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m和n，给出下列四个命题：①mnmn；②mnmn；③m与n相交m与n相交或重合；④m与n平行m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是()A．1B．2C．3D．4【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：ACBD但1AC，1BD不垂直，故①错；11ABAB但在底面上的射影都是AB故②错；AC，BD相交，但1AC，BD异面，故③错；//ABCD但1AB，1CD异面，故④错故选：D．5．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且2q…，则1(1)1lim(1(1)1pnqnn)A．0B．1C．pqD．11pq【解答】解析：法一特殊值法，由题意取1p，2q，第8页（共23页）则211(1)11limlimlim112122(1)1pnnnqnpnnnqnnn，可见应选C法二211(1)1(1)(1)(1)1(1)mmxxxxx21(1)1[1(1)(1)(1)]mmxxxxx令1xn，m分别取p和q，则原式化为212111111(1)1[1(1)(1)(1)]limlim11111(1)1[1(1)(1)(1)]ppnnqqnnnnnnnnnn21111lim(1)1,lim(1)1,,lim(1)1pnnnnnn，所以原式111111pq（分子、分母1的个数分别为p个、q个）故选：C．6．（5分）若数列{}na满足212(nnappa为正常数），则称{}na为“等方比数列”．甲：数列{}na是等方比数列；乙：数列{}na是等比数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解答】解：由等比数列的定义，若乙：{}na是等比数列，公比为q，即221121nnnnaaqqaa则甲命题成立；反之，若甲：数列{}na是等方比数列，即22112nnnnaaqqaa即公比不一定为q，则命题乙不成立，故选：B．7．（5分）双曲线22122:1(0,0)xyCabab的左准线为l，左焦点和右焦点分别为1F和2F；抛物线2C的准线为l，焦点为2F；1C与2C的一个交点为M，则12112||||||||FFMFMFMF等于(第9页（共23页）)A．1B．1C．12D．12【解答】解：由题设可知点M同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得1222121||||222|||||,|||||MFMFaacaMFMDMFMFcacacMFMDa故原式222122acccaccaacaaacaca，故选：A．8．（5分）已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nA和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：121121121121(21)()22(21)()22nnnnnnnnnaaaaaanbbbbbb21217(21)45127(21)31nnAnBnn，验证知，当1n，2，3，5，11时nnab为整数．故选：D．9．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量(,)amn与向量(1,1)b的夹角为，则(0,]2的概率是()第10页（共23页）A．512B．12C．712D．56【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数66，0m，0n，(,)amn与(1,1)b不可能同向．夹角0．(0，2】0ab…，0mn…，即mn…．当6m时，6n，5，4，3，2，1