一元一次方程知识点及练习完整版

1一元一次方程知识点及基础训练全章知识网络图：知识详解：一、等式的概念和性质黑1、等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。2、等式的性质楷体等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。若ab，则ambm；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若ab，则ambm，abmm(0)m注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果ab，那么ba；②等式具有传递性，即：如果ab，bc，那么ac；判断题2）12Sah是等式；（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；（4）若xy，则44xmym；下列说法不正确的是（）A．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；B．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式；D．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；回答下列问题，并说明理由．（1）由2323ab能不能得到ab？2（2）由56abb能不能得到56a？（3）由7xy能不能得到7yx？（4）由0x能不能得到11xxx？下列结论中正确的是（）A．在等式3635ab的两边都除以3，可得等式25ab；B．如果2x，那么2x；C．在等式50.1x的两边都除以0.1，可得等式0.5x；D．在等式753xx的两边都减去3x，可得等式6346xx；根据等式的性质填空（1）4ab，则ab；（2）359x，则39x；（3）683xy，则x；（4）122xy，则x．用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果23x，那么x；（2）如果6xy，那么6x；（3）如果324xy，那么2y；（4）如果324x，那么x．二、方程的相关概念黑体小1、方程：含有未知数的等式叫作方程。注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。楷体五号2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。楷体五号3、方程的已知数和未知数楷体五号已知数：一般是具体的数值，如50x中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）。5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示。未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示。如：关于x、y的方程2axbyc中，a、2b、c是已知数，x、y是未知数。楷体4、方程的解楷体五号使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。楷体五号5、解方程：求得方程的解的过程。注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。楷体五号6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？①34a；②28xy；③532；④1xy；⑤61xx；3⑥83x；⑦230yy；⑧2223aa；⑨32aa．判断题．（1）所有的方程一定是等式。（）（2）所有的等式一定是方程。（）（3）241xx是方程。（）（4）51x不是方程。（）（5）78xx不是等式，因为7x与8x不是相等关系。（）（6）55是等式，也是方程。（）（7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x，它是一个代数式，而不是方程。（）判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。（1）373xx；（2）223y；（3）2351xx；（4）112；（5）42xx；（6）152xy．下列说法不正确的是（）A．解方程指的是求方程解的过程；B．解方程指的是方程变形的过程；C．解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程；D．解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程；检验括号里的数是不是方程的解：3212yy（1y，32y）在1y、2y、3y中，______是方程104yy的解．三、一元一次方程的定义黑体小四1、一元一次方程的概念楷只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数。楷体五号2、一元一次方程的形式楷标准形式：0axb（其中0a，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．最简形式：方程axb（0a，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程22216xxx是一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。（2）方程axb与方程(0)axba是不同的，方程axb的解需要分类讨论完成。下列各式中：①3x；②2534；③44xx；④12x；⑤213xx；⑥44xx；⑦23x；⑧2(2)3xxxx。哪些是一元一次方程？4下列方程是一元一次方程的是（）（多选）A．1xyB．225xC．0xD．13axE．235xF．2π6.28R已知方程2(63)70nmx是关于x的一元一次方程，求m，n满足的条件。若2(1)(2)(3)0kxkxk是关于x的一元一次方程，求k。已知2(1)(1)30kxkx是关于x的一元一次方程，求k的值。若22(1)(1)20axax是关于x的一元一次方程，求a。若关于x的方程2(2)450kxkxk是一元一次方程，则方程的解x=。求关于x的一元一次方程21(1)(1)80kkxkx的解．已知方程1(2)40aax是一元一次方程，则a；x．四、一元一次方程的解法黑体小四1、解一元一次方程的一般步骤楷体五（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成axb的形式．注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（0a），得到方程的解bxa．注意：不要把分子、分母搞颠倒．楷体2、解一元一次方程常用的方法技巧楷体五解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。（1）基本类型的一元一次方程的解法楷体五号解方程：6(1)5(2)2(23)xxx5解方程：3(3)52(25)xx解方程：2(43)56(32)2(1)xxx解方程：12225yyy解方程：122233xxx解方程：232164xx解方程：213543xx解方程：112132132xx强化训练解方程：10.50.210.30.30.30.02xxx解方程：0.10.020.10.130.0020.05xx解方程：0.40.90.10.50.030.020.50.20.03xxx解方程：0.10.020.10.10.30.0020.05xx解方程：421.730%50%xx（3）含有多层括号的一元一次方程的解法楷体五号解方程：11133312242y解方程：1112{[(4)6]8}19753x解方程：11111[(1)]3261224x解方程：11110721()3(2)33623xxxxx解方程：1112(1)(1)223xxxx6（4）一元一次方程的技巧解法楷体五号解方程：1123(23)(32)11191313xxx解方程：113(1)(1)2(1)(1)32xxxx解方程：11311377325235xx解方程：2009122320092010xxx解方程：...200613352003200520052007xxxx解方程：20181614125357911xxxxx解方程：2325118357911xxxxx解方程：20101309720092007xxx解方程：3xabxbcxcacab，（1110abc）解方程：4xabcxbcdxacdxabddabc（11110abcd）已知1abc，求关于x的方程2004111xxxaabbbccca的解．若1abc，解关于x的方程：2221111axbxcxababcbcac五．实际问题与一元一次方程（这部分，建议基础不好的学生仅适当尝试做做）（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。7（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它与售价不同，它指的是原价。（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。（5）、盈亏问题：利润=售价－成本；售价=进价+利润；售价=进价+进价×利润率；（6）、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。（7）、应用：行程问题：路程=时间×速度；工程问题：工作总量=工作效率×时间；储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间；本息和=本金+利息。一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审—审题：（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）二、一般行程问题（相遇与追击问题）行程问题基本类型（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。解：等量关系步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时列出方程是：6.3408xx2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系⑴速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：60159601515xx3、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从