平移与旋转压轴题(纯平移、旋转-没有相似)

平移与旋转压轴题1．正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转900，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系：.2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．3．如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．4．在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．5．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）（相似）当CP3PE2，BP′=55时，求线段AB的长．7（三角函数）．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于34？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．操作发现，将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立。（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。求证：BD⊥CF。（3）在（2）小题的条件下,AC与BG的交点为M，当AB=4，AD=时，求线段CM的长。10、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．MBCN图3ADBCNM图2ADBCNM图1ADMEFABCDMFABDB1KD111、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图甲），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．⑴试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；⑵小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜90°),当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；12、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，090,BDADCD。思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板拼成一个正方形。”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。图甲图乙BDAC13．如图14-1，ABC△的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC；EFP△的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP△沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP△沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ图14-1图14-2图14-3EPC14．如图23-127所示，在平面内直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30°.(1)将△ECD沿着直线AC翻折到如图23—128(1)所示的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′；(2)将△ECD沿直线l向左平移到如图23—128(2)所示的位置，使E点落在AB上，记为E′，求出平移的距离；(3)将△ECD绕点C逆时针方向旋转到如图23—128(3)所示的位置，使得点E落在AB上，记为点E′，求出旋转角的度数．平移与旋转压轴题答案1、解：（1）垂直且相等。（2）EF、EQ、BP三者之间的数量关系为：EF2BPEQ。证明如下：如图，取BC的中点G，连接FG，由（1）得EF=FG，EF⊥FG，根据旋转的性质，FP=FQ，∠PFQ=90°。∴∠GFP=∠GFE—∠EFP=90°—∠EFP，∠EFQ=∠PFQ—∠EFP=90°—∠EFP。∴∠GFP=∠EFQ。在△FQE和△FPG中，∵EF=GF，∠EFQ=∠GFP，FQ=FP，∴△FQE≌△FPG（SAS）。∴EQ=GP。∴EFGF2BG2BPGP2BPEQ。（3）补图如下，F、EQ、BP三者之间的数量关系为：MEFABCD。2、解：（1）DE=MFABDB1KD1BC。（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=32BC可得到BF+BP=233DE；（3）补全图形如图，DE、BF、BP三者之间的数量关系为BF﹣BP=233DE。3、解：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°。又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°。∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°。∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C。∴AE=BE，BE=BC。∴AE=BC。（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，ABACFABEACAFAE，∴△CAE′≌△BAF′。∴CE′=BF′。（3）存在CE′∥AB。由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°。∴α=∠CAM=36°。②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°。∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°。∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°。∴当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB。4、解：（1）AD=CF。理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，∴△AOD≌△COF（SAS）。∴AD=CF。（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=12OE，∵正方形ODEF的边长为2，∴OE=2×2=2。∴DG=OG=12OE=12×2=1。∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，2222ADAGDG4117，∴CF=AD=17。5、解：（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），∴AB=AF，∠BAM=∠FAN。∵在△ABM和△AFN中，FANBAMABAFBF，∴△ABM≌△AFN（ASA）。∴AM=AN。（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形。理由如下：连接AP，∵∠α=30°，∴∠FAN=30°。∴∠FAB=120°。∵∠B=60°，∴AF∥BP。∴∠F=∠FPC=60°。∴∠FPC=∠B=60°。∴AB∥FP。∴四边形ABPF是平行四边形。∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形。6、解：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）。∴∠CBP=∠ABP。（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。又∵∠PAD+∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E。在△APD和△P′AE中，∵0PADAPEADPPEA90APAP，∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。（3）∵CP3PE2，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。在Rt△AEP′中，22PE5k3k4k，∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE。又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。∴ABPAPEPE