数列考题分类整理(含解析)

第1页共8页数列考题分类整理（含答案）（一）等差数列及其前n项和一、题点全面练1．等差数列{an}中，a3＋a9=10，a10=6，则公差d=()A..12B14C．4D．－12解析：选B由a3＋a9=2a6=10，得a6=5，所以4d=a10－a6=1，解得d=14.2.在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7=a8＋5，则S11的值是()A．50B．11C．55D．60解析：选C设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)=a1＋7d＋5，得a1＋5d=5，则S11=11a1＋11×102d=11(a1＋5d)=11×5=55，故选C.3．等差数列{an}中，a2＋a4＋a6=39，a1＋a6＋a11=27，则数列{an}的前9项和S9等于()A．66B．99C．144D．297答案：选B4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若ak=4，Sk=0，Sk＋2=14(k≥2，且k∈N*)，则a2019的值为()A．2020B．4032C．5041D．3019解析：选B5．等差数列{an}中，已知|a6|=|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时n的值为()A．5B．6C．7D．98解析：选D由d＞0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|=|a11|，所以－a6=a11，即－a1－5d=a1＋10d，所以a1=－15d2，则a8=－d2＜0，a9=d2＞0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选D.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=2a3，则S11S5=______.解析：S11S5=112a1＋a1152a1＋a5=11a65a3=225.答案：2257．等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1=－9，S99－S77=2，则S10=________.解析:∵S99－S77=2，∴9－12d－7－12d=2，∴d=2，∵a1=－9，∴S10=10×(－9)＋10×92×2=0.答案：08．(2018·广元统考)若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋an=n2＋n，则a1＋a22＋…＋ann=________.解析：当n=1时，a1=2⇒a1=4，又a1＋a2＋…＋an=n2＋n，①所以当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1=(n－1)2＋(n－1)=n2－n，②①－②得an=2n，即an=4n2，所以ann=4n2n=4n，则ann构成以4为首项，4为公差的等差数列．所以a1＋a22＋…＋ann=4＋4nn2=2n2＋2n.答案：2n2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n=1时，有2a1=a21＋1－4，即a21－2a1－3=0，所以a1=3(a1=－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1=a2n－1＋n－5，又2Sn=a2n＋n－4，所以两式相减得2an=a2n－a2n－1＋1，即a2n－2an＋1=a2n－1，即(an－1)2=a2n－1，因此an－1=an－1或an－1=－an－1.若an－1=－an－1，则an＋an－1=1.而a1=3，所以a2=－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，所以an－1=an－1，即an－an－1=1，因此数列{an}为等差数列．(2)由(1)知a1=3，数列{an}的公差d=1，所以数列{an}的通项公式为an=3＋(n－1)×1=n＋2.10．已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2·S3=36.(1)求d及Sn;(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k=65.第2页共8页解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)=36，将a1=1代入上式，解得d=2或d=－5.因为d＞0，所以d=2.从而an=2n－1，Sn=n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k=(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)=65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，故2m＋k－1＝13，k＋1＝5，解得m＝5，k＝4.即所求m的值为5，k的值为4.二、分类专项培优练(一)易错专练1．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2018＋a2019＞0，a2018·a2019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2017B．2018C．4034D．4036选D2．(2019·武汉模拟)设等差数列{an}满足a2＋a8=36，a4a6=275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为()A．－10B．－12C．－9D．－13解析：选B3．设数列{an}的通项公式为an=2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=________.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{an}中的a4，a2018是3x2－12x＋4=0的两根，则101141loga=________.答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=a5＋a6=25.(1)求{an}的通项公式；(2)若不等式2Sn＋8n＋27＞(－1)nk(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．解：(1)设公差为d，则5a1＋5×42d=a1＋4d＋a1＋5d=25，∴a1=－1，d=3.∴{an}的通项公式an=3n－4.(2)由题意知Sn=－n＋3nn－12，2Sn＋8n＋27=3n2＋3n＋27，an＋4=3n，则原不等式等价于(－1)nk＜n＋1＋9n对所有的正整数n都成立．∴当n为奇数时，k＞－n＋1＋9n恒成立；当n为偶数时，k＜n＋1＋9n恒成立．又∵n＋1＋9n≥7，当且仅当n=3时取等号，∴当n为奇数时，n＋1＋9n在n=3上取最小值7，当n为偶数时，n＋1＋9n在n=4上取最小值294，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范围是－7，294.（二）等比数列及其前n项和一、题点基础巩固练1．(2019·武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7=2，a5a6=－8，则a1＋a10等于()A．7B．－7C．5D．－5解析：选B由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10=a1(1＋q9)=－7.2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5等于()A.152B.172C.314D.334解析：选C设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12或a1＝9，q＝－13(舍第3页共8页去)，∴S5=a11－q51－q=41－1251－12=314.3．(2018·邵阳二模)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2=3，则S6S4=()A．2B.1或2C.310D．73解析：选D设S2=k，S4=3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2=k，S4－S2=2k，∴S6－S4=4k，∴S6=7k，∴S6S4=7k3k=73，故选D.4．(2018·安庆二模)数列{an}满足：an=λan-1－1(n≥2,n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于()A．1B．－1C.12D．2解析：选D5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A．10B．11C．12D．13解析：选C设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3=3，an－2·an－1·an=9，(a1·an)3=3×9=33，∴a1·an=3，又Tn=a1·a2·…·an－1·an=an·an－1·…·a2·a1，∴T2n=(a1·an)n，即7292=3n，∴n=12.6．(2019·重庆调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5=5，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9=________.解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1·a9=a2·a8=a3·a7=a4·a6=a25=52，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9=log5(a1·a2·…·a9)=log5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]=log5a95=log559=9.答案：97．设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10=10，S30=70，那么S40=________.解析：易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2=S10(S30－S20)，即(S20－10)2=10(70－S20)，故S20=－20或S20=30.又S20＞0，所以S20=30，S20－S10=20，S30－S20=40，故S40－S30=80，所以S40=150.答案：1508．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4=158，a2a3=－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4=________.解析：1a1＋1a2＋1a3＋1a4=a1＋a4a1·a4＋a2＋a3a2·a3.∵在等比数列{an}中，a1·a4=a2·a3，∴原式=a1＋a2＋a3＋a4a2·a3=158×－89=－53.答案：－539．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an=qn－1.由已知得q4=4q2，解得q=0(舍去)或q=－2或q=2.故an=(－2)n－1或an=2n－1.(2)若an=(－2)n－1，则Sn=1－－2n3.由Sm=63，得(－2)m=－188，此方程没有正整数解．若an=2n－1，则Sn=1－2n1－2=2n－1.由Sm=63，得2m=64，解得m=6.综上，m=6.10．已知数列{an}满足an＋1=3an2an＋1(n∈N*)，且a1=23.(1)求证：1an－1是等比数列，并求出{an}的通项公式；(2)求数列1an的前n项和Tn.解：(1)证明:记bn=1an－1则bn＋1bn=1an＋1－11an－1=2an＋13an－11an－1=2an＋1－3an3－3an=1－an31－an=13又b1=1a1－1=32－1=12，所以1an－1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1an－1=12·13n－1，即an=2·3n－11＋2·3n－1.所以数列{an}的通项公式为an=2·3n－11＋2·3n－1.第4页共8页(2)由(1)知，1an－1=12·13n－1，即1an=12·13n－1＋1.所以数列1an的前n项和Tn=121－13n1－13＋n=341－13n＋n.二、分类专项培优练(一)易错专练1．各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是________．答案：92，82．已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－32，求这四个数．解：设这四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则由题意知，a4q6＝1，①aq1＋q＝－32，②得a2q3＝±1，③a2q21＋q2＝94.④把a2q2=1q代入④，得q2－14q＋1=