幂函数与二次函数

幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象分别如右图．3.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递减在x∈－∞，－b2a上单调递增在x∈－b2a，＋∞上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点－b2a，4ac－b24a对称性图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋x22对称．(2)一般地，函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．练习检测1．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()．A．－3B．－1C．1D．3解析∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.答案A2.如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()．A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－12答案B3．(2011·浙江)设函数f(x)＝－x，x≤0，x2，x＞0.若f(α)＝4，则实数α等于()．A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2解析由α≤0，－α＝4或α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案B4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于()．A．3B．2或3C．2D．1或2解析函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件f1＝1，fb＝b，b1，即b2－3b＋2＝0，b1.解得b＝2.答案C5．(2012·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，则a≠0，b＝－2，2a2＝4.因此f(x)＝－2x2＋4.答案－2x2＋46.函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．[审题视点]分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式．解(1)f(x)＝(x－1)2＋1.当t＋1≤1，即t≤0时，g(t)＝t2＋1.当t1t＋1，即0t1时，g(t)＝f(1)＝1当t≥1时，g(t)＝f(t)＝(t－1)2＋1综上可知g(t)＝t2＋1≤0，t≤0，1，0t1，t2－2t＋2，t≥1.(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，在[m，n]上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．7.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值．(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1时，f(x)取得最小值1；x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，故a的取值范围是a≤－5或a≥5.8.已知幂函数)()(*322Nmxxfmm的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(mmaa的a的取值范围．[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13＜(3－2a)－13等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或23＜a＜32.故a的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．9.(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－4x－a22－4a，∴抛物线顶点坐标为a2，－4a.(1分)①当a2≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜a2＜1，即0＜a＜2时，x＝a2时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝54∈(0,2)；(7分)③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝54或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－10516或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．10.设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.综上，g(a)＝a2－2a，－2＜a＜1，－1，a≥1.