2018-2019学年上海市宝山区高二(下)期末数学试卷

第1页（共18页）2018-2019学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）已知i3z＝1﹣2i（i是虚数单位），则z的共轭复数为2．（3分）已知定点A（4，0）和曲线x2+y2＝8上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为3．（3分）如果球的体积为，那么该球的表面积为4．（3分）已知点A（0，2），B（﹣1，3），C（1，﹣5），则△ABC的面积是5．（3分）已知2i﹣1是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝6．（3分）已知抛物线x＝2py2上的点A（2，2），则A到准线的距离为7．（3分）在等比数列{an}中，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝8．（3分）向量经过矩阵变换后的向量是9．（3分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是10．（3分）已知直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离等于，则直线l的方程为11．（3分）已知数列{2n﹣1•an}的前n项和Sn＝9﹣6n，则数列{an}的通项公式为．12．（3分）若向量，且x3﹣3x﹣4y＝0，则与的夹角等于二、选择题13．（3分）已知△ABC的边BC上有一点满足，则可表示为（）A．B．C．D．14．（3分）设l表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件第2页（共18页）15．（3分）已知单位向量，的夹角为60°，若＝2，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形16．（3分）在等比数列{an}中，若，则＝（）A．B．C．D．2三、解答题17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，E是AB的中点（1）求四棱锥A1﹣BCDE的体积（2）求异面直线A1E与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18．已知平行四边形ABCD中，，F是BC边上的点，且＝2，若AF与BD交于E点，建立如图所示的直角坐标系．（1）求F点的坐标；（2）求•．19．如图，在y正半轴上的A点有一只电子狗，B点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若AB＝BO＝3．（1）求失败点组成的区域第3页（共18页）（2）电子狗选择x正半轴上的某一点P，若电子狗在线段AP上获胜，问点P应在何处？20．已知椭圆的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且b＝c．（1）求直线AB的方向向量；（2）若Q是椭圆上的任意一点，求∠F1QF2的最大值；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|＝3，求椭圆的方程．21．已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为，数列{bn}的通项公式为bn＝2n﹣6（1）若，求数列{cn}的前n项和Tn及的值；（2）若，数列{en}的前n项和为En，求E1，E2，E3的值，根据计算结果猜测En关于n的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数n，若恒成立，求t的取值范围．第4页（共18页）2018-2019学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知i3z＝1﹣2i（i是虚数单位），则z的共轭复数为2﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵i3z＝1﹣2i，∴﹣iz＝1﹣2i，∴i（﹣iz）＝i（1﹣2i），即z＝2+i，∴＝2﹣i，故答案为：2﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（3分）已知定点A（4，0）和曲线x2+y2＝8上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝2【分析】设出P，B的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用端点B在圆x2+y2＝4上运动，可得轨迹方程．【解答】解：设线段AB中点为P（x，y），B（m，n），则m＝2x﹣4，n＝2y∵端点B在圆x2+y2＝8上运动，∴m2+n2＝8，∴（2x﹣4）2+（2y）2＝8，∴（x﹣2）2+y2＝2．故答案为：（x﹣2）2+y2＝2．【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键．3．（3分）如果球的体积为，那么该球的表面积为9π【分析】设球的半径为R，由体积求得半径，代入表面积公式求解．【解答】解：设球的半径为R，由V＝，得R＝．第5页（共18页）∴该球的表面积为4π×R2＝．故答案为：9π．【点评】本题考查球的表面积与体积公式，是基础的计算题．4．（3分）已知点A（0，2），B（﹣1，3），C（1，﹣5），则△ABC的面积是3【分析】根据三点用两点间的距离公式求出AB、AC和BC的长度，然后用余弦定理求出角A，再用面积公式求三角形的面积即可．【解答】解：由点A（0，2），B（﹣1，3），C（1，﹣5），得AB＝，AC＝，BC＝．由余弦定理，有cosA＝，∴sinA＝，∴．故答案为：3．【点评】本题考查了两点间的距离公式、余弦定理和面积公式，属基础题．5．（3分）已知2i﹣1是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝14【分析】由条件知方程另一个根为﹣1﹣2i，然后由根于系数的关系求出p和q．【解答】解：∵2i﹣1是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，∴根据实系数多项式虚根成对定理知，方程另一个根为﹣1﹣2i，∴p＝﹣2[（﹣1+2i）+（﹣1﹣2i）]＝4，q＝2[（﹣1+2i）（﹣1﹣2i）]＝10，∴p+q＝14．故答案为：14．【点评】本题考查了实系数多项式虚根成对定理和根与系数的关系，属基础题．6．（3分）已知抛物线x＝2py2上的点A（2，2），则A到准线的距离为【分析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p，然后求解准线方程，即可推出结果．【解答】解：抛物线x＝2py2上的点A（2，2），可得p＝，所以抛物线方程为：y2＝2x，准线方程为x＝﹣，则A到准线的距离为：．第6页（共18页）故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7．（3分）在等比数列{an}中，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝31【分析】根据a2a5＝2a3，求出a4＝2，又a4与2a7的等差中项为，得到a7＝，所以可以求出，a1＝16，即可求出S5．【解答】解：依题意，数列{an}是等比数列，a2a5＝2a3，即，所以a4＝2，又a4与2a7的等差中项为，所以2+2a7＝2×，所以a7＝，所以q3＝＝，所以q＝．所以a1＝＝＝16，所以S5＝＝31．故答案为：31．【点评】本题考查了等差数列的等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式．本题属于基础题．8．（3分）向量经过矩阵变换后的向量是【分析】运用矩阵的向量变换，计算可得所求．【解答】解：＝，故答案为：．【点评】本题考查矩阵的变换，考查运算能力，属于基础题．9．（3分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是y＝±【分析】利用双曲线的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程．第7页（共18页）【解答】解：双曲线的一个焦点是，可得a2+9＝13，解得a＝2，所以双曲线的渐近线方程是：y＝±．故答案为：y＝±．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10．（3分）已知直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离等于，则直线l的方程为2x﹣y+5＝0或x+2y＝0【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，不成立；当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为kx﹣y+2k+1＝0，由点A（﹣1，﹣2）到l的距离等于，解得k＝2或k＝﹣，由此能求出直线l的方程．【解答】解：直线l经过点P（﹣2，1），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，点A（﹣1，﹣2）到l的距离d＝1，不成立；当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0，∵点A（﹣1，﹣2）到l的距离等于，∴d＝＝＝，解得k＝2或k＝﹣，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x+2）或y﹣1＝﹣（x+2），即2x﹣y+5＝0或x+2y＝0．故答案为：2x﹣y+5＝0或x+2y＝0．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（3分）已知数列{2n﹣1•an}的前n项和Sn＝9﹣6n，则数列{an}的通项公式为第8页（共18页）．【分析】利用递推式即可得出．【解答】解：∵数列{2n﹣1•an}的前n项和Sn＝9﹣6n，∴当n＝1时，20•a1＝9﹣6，解得a1＝3．当n≥2时，Sn﹣1＝9﹣6（n﹣1）＝15﹣6n，∴2n﹣1•an＝Sn﹣Sn﹣1＝9﹣6n﹣（15﹣6n）＝﹣6，∴＝．∴．故答案为：．【点评】本题考查了递推式的应用，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（3分）若向量，且x3﹣3x﹣4y＝0，则与的夹角等于90°【分析】由平面向量数量积的运算得：＝﹣y2+（x3﹣3x）2＝﹣4y+x3﹣3x＝0，即与的夹角等于90°，得解．【解答】解：由＝（，﹣1），＝（，），所以＝0，||＝4，||＝1，所以＝﹣y2+（x3﹣3x）2＝﹣4y+x3﹣3x＝0，即与的夹角等于90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．二、选择题第9页（共18页）13．（3分）已知△ABC的边BC上有一点满足，则可表示为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，解出向量即可．【解答】解：∵；∴；∴；∴．故选：D．【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．14．（3分）设l表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：因为m是平面α内的任意一条直线，m具有任意性，若l⊥m，由线面垂直判定定理，则l⊥α，所以充分性成立；反过来，若l⊥α，m是平面α内的任意一条直线，则l⊥m，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．故选：A．【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握情况．根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．15．（3分）已知单位向量，的夹角为60°，若＝2，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据题意，由向量加减法的意义，用向量、、表示出向量、、，结合题意，求出向量、、的模，由三角形的性质，分析可得答案．第10页（共18页）【解答】解：根据题意，由＝2+，可得﹣＝＝2，则||＝2||＝2，由＝﹣，可得||2＝|﹣|2＝2﹣2•+2＝1﹣2×1×1×+1＝1，故||＝1，由＝﹣＝（2+）﹣＝+，则||2＝|+|2＝2+2•+2＝1+2×1×1×+1＝3，可得||＝，在△ABC中，由||＝2，||＝1，||＝，可得||2＝||2+||2，则△ABC为直角三角形；故选：C．【点评】本题考查数量积的性质与运用，注意先用向量的加法、减法的性质，表示出△ABC的三边的向量．16．（3分）在等比数列{an}中，若，则＝（）A．B．C．D．2【分析】利用等比数列通项公式先求出公比q＝＝＝，再由＝＝，能求出结果．【解答】解：∵在等比数列{an}中，若a2＝，a3＝，第11页（共18页）∴公比q＝＝＝，∴＝，∴＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查等比数列中两项和与另外两项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，E是AB的中点（1）求四棱锥A1﹣BCDE的体积（2）求异面直线A1E与B1C所成角的大小（结果用反