多元函数微分学(上)

1/4第六章多元函数的微分学一、考试要求二、二元函数的概念1.二元函数的概念引例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系hrV2这里当hr,在集合},),{(00hrhr内取定一对值),(hr时V的值就随之确定即V依赖于r和h的变化而变化．定义1设有三个变量yx,和z,如果当变量yx,在一定范围内任意取定一对数值时,变量z按照一定的规律f总有唯一确定的值与它们对应,则称z是yx,的二元函数．记为),(yxfz,其中yx,称为自变量,z称为因变量．自变量yx,的取值范围称为函数的定义域．个人收集整理勿做商业用途二元函数在点),(00yx所取得的函数值记为00(,)00(,)xyzfxy或．例1设21)sin(yxyz,求)1,(z．解)1,(z=211)1sin(2．2．二元函数的定义域同一元函数一样,定义域和对应规律是二元函数定义的两要素．对于以算式表示的二元函数),(yxfz,其定义域就是使算式有意义的自变量的取值范围．个人收集整理勿做商业用途例2求二元函数222yxaz的定义域D。解由函数的要求可知,函数的定义域为222{(,)|}xyxya。例3求二元函数)ln(yxz的定义域D。2/4解由对数函数性质可知x,y必须满足{(,)|0}xyxy。三、二元函数的偏导数在研究一元函数时，从讨论函数的变化率引入了导数的概念.对于多元函数，我们也常常遇到研究它对某个自变量的变化率问题，这就产生了偏导数的概念.个人收集整理勿做商业用途1.偏导数的定义定义1设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定为0y，而x在0x处有改变量x时，相应地函数z有改变量（称为偏增量）),(),(0000yxfyxxfzx．如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为),(00yxxz或),(00yxfx．类似地，当x固定不变时，函数z对y的偏导数为),(00yxfy=00000(,)(,)limyfxyyfxyy．如果函数),(yxfz在区域D内每一点),(yx处对x（或对y）的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是x,y的函数，称为),(yxfz对x（或对y）的偏导函数，记作),(,,yxfZxfxzxx或（或),(,,yxfZyfyzyy或）.通常把偏导函数简称为偏导数.个人收集整理勿做商业用途２．偏导数的求法从偏导数的定义可以看出,求二元函数的偏导数,并不需要建立新的方法．在求二元函数),(yxfz对某个自变量的偏导数时,把这个自变量看作变量,另一个自变量看作常量,再运用一元函数的求导法,求出偏导数．个人收集整理勿做商业用途例4求函数2232yxyxz在点)1,1(处的偏导数．解将y看作常量，z对x求导，得yxxz22；将x看成常量，z对y求导，得yxyz62．3/4故41212)1,1(xz；81612)1,1(yz．例5设yzx，求,.zzxy解求z对x的偏导数时，把y看成常数，yx是幂函数，则有1yxyxz．求z对y的偏导数时，把x看成常量，yx是指数函数,则有xxyzyln.3.二阶偏导数如果函数),(yxfz的两个偏导数),(yxfx，),(yxfy仍然是x,y的函数,且),,(yxfx),(yxfy关于x,y的偏导数存在，则称它们为),(yxf的二阶偏导数．依照对变量的不同求导次序，有四个二阶偏导数：记为22)(xzxzx;yxzxzy2)(;xyzyzx2)(;22)(yzyzy．或.,,,yyyxxyxxffff其中),(yxfxy及),(yxfyx称为二阶混合偏导数．例6求函数yxxyzsin2的所有二阶偏导数．解因为yxyxzsin2，yxxyzcos2．所以yyxyxxzsin2)sin2(22；yxyxxyyzsin)cos(2222；yxyxyyyxzcos21)sin2(2；yxyxxxxyzcos21)cos(22容易发现，yxz2xyz2，这个结论在一般情形下均成立。所以，求二阶混合偏导数与求导的顺序无关.解22223,=(3)6zzxxxxxx4/42(1,1)2=61=6zx四、全微分定义2二元函数),(yxfz在点),(yx处的全微分定义为dyyzdxxzdz．例6求函数2tan()zxyxy的全微分dz.解因为22sec()zxyxyx，22sec()zxxyy，所以222[2sec()][sec()]dzxyxydxxxydy例7设yzx，求dz解1yzyxx，xxyzyln.1lnyydzyxdxxxdy