思维特训(十四)--顶点在正方形顶点上的45°角

思维特训(十四)顶点在正方形顶点上的45°角方法点津基本模型：图14－S－1解题思维切入角度：利用旋转的思想构造全等三角形解题．典题精练1．如图14－S－2，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG.求证：EF＝FG.图14－S－22．如图14－S－3，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，求△CEF的周长．图14－S－33．如图14－S－4，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM，AN与CB，DC分别交于点M，N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为H，如图14－S－4，猜想AH与AB有什么数量关系，并证明．图14－S－44．如图14－S－5，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，点E，F在BD上，求证：BE2＋FD2＝EF2.图14－S－5图14－S－65．如图14－S－6，已知M，N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN＝45°，连接AM，AN，并延长与BC，CD分别交于E，F两点，则∠CME＋∠CNF＝________．典题讲评与答案详析1．证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠ABE＝∠ADG＝90°.又∵BE＝DG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，∴∠EAF＝∠GAF＝45°.又∵AF＝AF，∴△FAE≌△FAG(SAS)，∴EF＝FG.2．解：延长CD到点H，使DH＝BE，连接AH，易证△ABE≌△ADH，∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，∴∠FAH＝∠DAH＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF.∵∠EAF＝45°，∴∠FAH＝90°－45°＝45°，∴∠FAH＝∠EAF.又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF(SAS)，∴EF＝FH，∴△CEF的周长＝EF＋CF＋CE＝FH＋CF＋CE＝DF＋DH＋CF＋CE＝DF＋BE＋CF＋CE＝(BE＋CE)＋(DF＋CF)＝BC＋CD.∵正方形ABCD的边长为1，∴△CEF的周长为1＋1＝2.3．解：猜想：AH＝AB.证明：如图，延长CB至点E，使BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝∠D＝90°，∴△ABE≌△ADN(SAS)，∴∠1＝∠2，AE＝AN.∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠2＋∠3＝90°－∠MAN＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，即∠MAE＝∠MAN＝45°.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM(SAS)．又∵EM和NM是对应边，∴AB＝AH(全等三角形对应边上的高相等)．4．证明：过点A作FA的垂线，并在垂线上截取AG＝AF，连接BG，EG.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠DAF，∴△ABG≌△ADF，∴BG＝FD，∠ABG＝∠ADF＝45°.∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠BAG＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF.又∵AE＝AE，AG＝AF，∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG＝EF.在正方形ABCD中，∠ABE＝45°，∴∠GBE＝90°，∴BE2＋BG2＝EG2，即BE2＋FD2＝EF2.5．90°[解析]由正方形的对称性可得∠MAN＝∠MCN＝45°，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∴∠ANC＋∠AMC＝2(∠1＋∠2)＝270°，∴∠CME＋∠CNF＝180°＋180°－270°＝90°.