平面与空间直线的方程以及它们的位置关系

平面与空间直线的方程以及它们的位置关系高天仪20101105055数学科学学院数学与应用数学专业10级汉二班指导教师李树霞摘要解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的.平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些几何对象的方程的代数问题了.在这里，我们通过向量来讨论一下平面和空间直线的方程以及它们之间的位置关系.关键词法向量;方向向量;参数方程1空间平面的方程1.1空间平面的一般方程一个平面是由垂直它的非零向量},,{CBAn和平面上的一个点),,(0000zyxM唯一决定的，称n为的法向量.由于n为平面的法向量，0M为上一点，则对于空间中任意一点),,(zyxM，M在上当且仅当00nMM或nOMnOM0（1.1—1）用坐标来表示，化为0)()()(000zzCyyBxxA令)(000CzByAxD，则得到平面的方程0DCzByAx（1.1—2）这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，对于任何一个三元一次方程0DCzByAxCBA,,不全为0不妨设0A，则该方程又可写成0)(CzByADxA作过点)0,0,(AD，垂直于方向},,{CBA的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面..由（1.1—2）表示的方程称为平面的一般方程.1.2空间平面的法式方程把（1.1—1）式两边同时与n1相乘，符号的选取使得0)(0nOM.这样nn0为从原点指向平面的单位向量0)(nOMpo为原点O与平面的距离.此时可以得到的另一种方程表示pnOM00，10n，p0称为平面的法式方程，选取的称为法化因子.它的几何意义是：平面是由所有的满足OM在垂直于的直线上投影向量为0pn的点M构成的.若以给平面的方程为0DCzByAx则的法式方程可以表示成0)(DCzByAx其中法化因子2221CBA，正负号的选取要使得0D.法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题.1.3空间平面的参数方程图1从图1中可以看出，平面是由上一点0M与两个不共线的与平行的向量ba,（或者说是上两个不共线的向量）所决定的.设0M),,(000zyx，),,(321aaaa，),,(321bbbb，a，b与平行且0ba.则空间中任意一点),,(zyxM在上，当且仅当MM0,a,b三向量共面.从而有实数k，m，使得bmakMM0或者bmakOMOM0使用分量来表示，则可得到330220110mbkazzmbkayymbkaxx（1.3—1）我们称（1.3—1）为平面的参数方程，其中参数为k和m.从（1.3—1）中消去参数k，m，可以得到关于x,y,z的三元一次方程321321000bbbaaazzyyxx=01.4空间平面的截距式方程对于由方程0DCzByAx所表示的平面.假设过原点O，即)0,0,0(在上当且仅当0D.若0D，则平面可用方程1czbyax（1.4—1）表示，其中)0,0,(a，)0,,0(b，),0,0(c分别为与三个坐标轴的交点坐标.则我们称（1.4—1）为平面的截距式方程.2空间直线的方程2.1直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点0M与一个非零向量v,那么通过点0M且与向量v平行的直线l就被唯一确定,向量v叫直线l的方向向量.任何一个与直线l平行的非零向量都可以作为直线l的方向向量.图2如图2，直线l过点),,(0000zyxM,方向向量ZYXv,,.设),,(zyxM为l上任意一点,00rOM,rOM,由于MM0与v(非零向量)共线,则vtrr0即vtrr0（2.1-1）叫做直线l的向量式参数方程，（其中t为参数）.如果设},,{0000zyxr，},,{zyxr,又设},,{ZYXv，那么由（2.1-1）式得ZtzzYtyyXtxx000（2.1-2）叫做直线l的坐标式参数方程.消参数t即得ZzzYyyXxx000(2.1-3)叫做直线l的对称式方程或称直线l标准方程.例1求通过空间两点),,(1111zyxM，),,(2222zyxM的直线方程.(图3)解取21MMv作为直线l的方向向量，设),,(zyxM为直线l上的任意点（如图3），那么},,,{12121212zzyyxxrrMOr所以直线l的向量式参数方程为);(121rrtrr（2.1-4）坐标式参数方程为)()()(121121121zztzzyyyyxxtxx（2.1-5）对称式方程为121121121zzzzyyyyxxxx（2.1-6）方程（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）都叫做直线l的两点式方程.若取直线l的方向向量为cos,cos,cos0v,则直线的方程为00vtrr(参数方程)或coscoscos000tzztyytxx（2.1-7）标准方程coscoscos000zzyyxx（2.1-8）由此可见参数t的几何意义:t为直线l上点M与点0M之间的距离.定义1设直线的方向向量的分量为nml,,，则直线的方向余弦cos,cos,cos为222cosnmll222cosnmlm222cosnmln2.2空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线.如果两个相交平面的方程分别为01111DzCyBxA和02222DzCyBxA（222111::::CBACBA），则它们的交线是空间直线.该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程.所以方程组0022221111DzCyBxADzCyBxA（2.2-1）就是这两个平面交线的方程.方程（2.2-1）称为空间直线的一般方程.2.3直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,也可以用简单的两平面来表示.如将一般方程(特殊的一般方程)化为dbzycazx(2.3-1）则此方程是直线的射影式方程.3空间中直线与平面的位置关系3.1空间直线与平面的位置关系定理1已知直线l和平面的方程为.0:,:000DCzByAxZzzYyyXxxl则直线l与平面相交的充要条件是0CYBYAX直线l与平面平行的充要条件是00000DCzByAxCZBYAX直线l在平面上的充要条件是00000DCzByAxCZBYAX例2试求A，B，使得直线02302zByxAzyx在xOy坐标平面上.解在直线的方程中，令0y解得121Ax，123Az，得)123,0,121(AA是直线上的点.由于直线的方向向量为6,2,2BBv，xOy坐标平面的方程是0z，它的法向量是1,0,0n，依题设得直线上的点在xOy坐标平面上，且直线的方向向量与平面的法向量垂直，即012306AB解得32A，6B.3.2空间直线与平面的交角设直线l和平面的交角为.当//l时，0；当l时，2；其他情况下，等于l与它在上的射影直线'l所交的锐角.设是l的方向向量v与的法向量n之间的夹角，则有2或2sin)2cos(cos或.sin)2cos(cos因此在这两种情况下，都有nvnvcossin.定理2已知直线l和平面的方程为0::000DCzByAxZzzYyyXxxl设l和的交角为，则222222sinCBAZYXCZBYAXnvnv例3证明直线12111:zyxl和平面092:zyx相交，并求它们的交点与交角.解将直线l的方程化为参数方程tztytx121)1(将)1(代入平面的方程整理得063t解得2t，将此值代入)1(得2,5,3zyx.因此直线l与平面相交，且交点为)2,5,3(0P.由于直线l的方向向量1,2,1v，平面的法向量1,1,2n，应用公式得21sinvnvn由此得直线l与平面的交角6.参考文献[1]吕林根,许子道.《解析几何》第四版.高等教育出版社.2006.05[2]同济大学应用数学系.《高等代数与解析几何》.高等教育出版社.2005.05［3]谢敬然,柯媛元.《空间解析几何》.高等教育出版社.2013.05[4]高红铸,王敬庚,傅若男.北京师范大学数学科学学院组编.《空间解析几何》第三版.北京师范大学出版社.2007.07.03PlaneandspacelinearequationandthepositionrelationshipbetweenthemGaoTianyi20101105055CollegeofMathematicsScienceMathematicsandAppliedMathematicsclasstwograde2010AdviserLiShuxiaAbstractinanalyticgeometry,inplaneandspacelinearequationanddiscusstheirproperties,usethevectorofthistool,throughthebenefitsofvectortodealwiththiskindofproblemishasnothingtodowiththeselectionofcoordinatesis.Theestablishmentofthelinearequationofplaneandspace,makestheplaneandspacegeometricproblemintoalinearequationoftheobjectsofthesegeometricalgebraproblem.Here,wediscussbyvectorspaceplaneandstraightlineequationandthelocationoftherelationshipbetweenthem.Keywordsequationmethod;vectordirection;vectorparameter目录摘要··············································································································11空间平面的方程··························································································11.1空间平面的一般方程··········································································11.2空间平面的法式方程··········································································21.3空间平面的参数方程··········································································21.4