最小二乘法数据拟合

最小二乘法数据拟合设给定数据),(iifx，),,2,1(mi在集合},,,{Span10n中找一个函数)()(*0**xaxSknkk，)(mn(1)其误差是iiifxS)(*，),,2,1(mi(2)使)(*xS满足21)(2*112])()[(min])()[(iimiixSiimiimiifxSxfxSx(3)0)(x是],[ba上给定的权函数。上述求逼近函数)(*xS的方法就称为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式(3)的函数)(*xS称为上述最小二乘问题的最小二乘解。并且有结论：1)对于给定的函数表),(iifx，),,2,1(mi，在函数类},,,{Span10n中存在唯一的函数)()(*0**xaxSknkk，使得关系式(3)成立。2)最小二乘解的系数**1*0,,,naaa可以通过解法方程),(),(0faknkjk，),,2,1,0(nj(4)作为曲线拟合的一种常用的情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取},,,,1{},,,{210nnxxx那么相应的法方程(4)就是iniiiiiiinniiniiniiniiiiiiniiiiifxfxfaaaxxxxxxxx102112(5)其中，)(iix，并且将mi1简写成“”。此时，knkkxaxS0**)(，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。例：已知某高度传感器测得的数据如下表：表1序号i1234567时间ix（秒）1234678高度iy（米）2367532试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合。（一）算法：解：取二次方多项式去拟合（当然也可以取三次、四次等，次数越高计算越复杂），2210)(xaxaaxfy由式(5)可建立法方程组（其中取1)(ix）71271712107171714327171713271717121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyaaaxxxxxxxx(6)由表1的数据可以计算出71iix，712iix，713iix，714iix，71iiy，71iiiyx，712iiiyx计算结果列在表2中i1234567求和时间ix（秒）123467831高度iy（米）2367532282ix149163649641793ix18276421634351211714ix116812561296240140968147iiyx261828302116121iiyx221254112180147128635将表2中算得的结果代入法方程(6)，可得：14762-354100304926-10030101980-30104210210210aaaaaaaaa解方程组可得：88.344547210aaa故所求拟合曲线为：23864.04321.33185.1)(xxxfy（二）用MATLAB编程求解：多项式函数使用polyfit（x,y,n），n为次数拟合曲线x=[1,2,3,4,6,7,8];y=[2,3,6,7,5,3,2];解：MATLAB程序如下：x=[1,2,3,4,6,7,8];y=[2,3,6,7,5,3,2];p=polyfit(x,y,2)x1=0:0.01:10;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')计算结果为：p=-0.38643.4318-1.3182012345678910-6-4-202468