求函数极限的方法

1求函数极限的方法1.预备知识1.1函数极限的定义定义1设f为定义在,a上的函数，A为定数．若对任给的0，存在正整数Ma，使得当xM时有fxA，则称函数f当x趋于时以A为极限．记作：limxfxA或fxAx．定义2设函数f在点0x的某个空心邻域00;'Ux内有定义，A为定数，若对任给的0，存在正数'，使得当00xx时有fxA，则称函数f当x趋于0x时以A为极限．记作：0limxxfxA或0fxAxx．定义3设函数f在00;'Ux（或00;'Ux）内有定义，A为定数．若对任给0的，存在正数'，使得当时00xxx（或00xxx）有fxA，则称数A为函数f当x趋于0x（或0x）时的右（左）极限．记作：00limlimxxxxfxAfxA或00fxAxxfxAxx．1.2函数极限的性质性质1（唯一性）若极限0limxxfx存在，则此极限是唯一的．性质2（局部有界性）若0limxxfx存在，则f在0x的某空心邻域00Ux内有界．性质3（局部保号性）若0lim0xxfxA（或0），则对任何正数rA（或rA），存在00Ux，使得对一切ooxUx有0fxr（或0fxr）．性质4（保不等式性）设0limxxfx与0limxxgx都存在，且在某邻域00;'Ux内有fxgx，则00limlimxxxxfxgx．性质5（迫敛性）设00limlimxxxxfxgxA，且在某邻域00;'Ux内有2fxhxgx，则0limxxhxA．性质6（四则运算法则）若极限0limxxfx与0limxxgx都存在，则函数fg，fg，当0xx时极限也存在，且1.000limlimlimxxxxxxfxgxfxgx；2.000limlimlimxxxxxxfxgxfxgx；又若0lim0xxgx，则fg当0xx时极限存在，且有3.000limlimlimxxxxxxfxfxgxgx．２.求函数极限的若干方法2.1利用定义求极限例１证明211lim212xxxx．分析当1x时，10x，故211122xxxxx，于是有23111332212222xxxxxxxxx，取112，当101x时1322x，故有122x，从而有21212xxx61x，取26即可．证明对于0，取1min,26，于是当01x时，有2126112xxxx，由定义知211lim212xxxx成立．注函数fx在点0x处是否有极限，与函数fx在点0x处是否有定义无关．32.2利用函数的连续性求极限例2求4limtanxxx．解43limtantan444xxx．此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数tanfxxx在4x处连续，所以可把4x直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．2.3利用两个重要极限求极限首先给出两个重要极限的一般形式（1）0sinlim1xxx；（2）1lim1xxex．例3求极限sinsinlimxaxaxa．解cossinsinsinsin222cos222xaxaxaxaxaxaxaxa，于是有sinsinsin2limlimcos22xaxaxaxaxaxaxasin2limcoslim22xaxaxaxaxacosa．先利用和差化积对函数进行转化，要使用0sinlim1xxx，必须使函数中出现此类型的式子，如当xa时02xa，此时sin2lim12xaxaxa，再进行求解．例4求极限10lim1xxx（为给定实数）．解1100lim1lim1xxxxxxe．4在利用第二类重要极限求极限的过程中，通常要将第二类重要极限先进行变形再使用．如101lim1lim1xyxyyex，此题就是利用这种变形求解的．在以后的求函数极限的问题中可灵活运用．2.4利用四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单．但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定．常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换．例5求极限21lim1nxxxxnx，n为正整数．解21lim1nxxxxnx21111lim111nxxxxxxx2121lim1111nnxxxxxxx2121111lim1lim1lim1lim1nnxxxxxxxxxx123n12nn．本题先利用拆项求和对函数进行恒等变换，再利用函数四则运算法则中的加法形式进行求解．2.5利用迫敛性求极限例6求极限2223(1)limnnnn．解由放缩法得222223(1)123231nnnnnnn，5化简得2223(1)1322nnnnnnn，因为131limlim222nnnnnn，由迫敛性定理得222311lim2nnnn．在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函数的极限相等．本题就是用放缩法使得222223(1)123231nnnnnnn，且131limlim222nnnnnn，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限．2.6利用归结原则求极限归结原则设f在00;'Ux内有定义，0limxxfx存在的充要条件是：对任何含于00;'Ux且以0x为极限的数列nx，极限limnnfx都存在且相等．例7求极限211lim1nnnn．分析利用复合函数求极限，令21211xxxuxx，1xvxx求解．解令21211xxxuxx，1xvxx则有limnuxe；lim1nvx，由幂指函数求极限公式得211lim1limxvxxxuxexx，故由归结原则得6221111lim1lim1nxnxennxx．注1归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0xx，0xx，x和x这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注2若可找到一个以0x为极限的数列nx，使limnnfx不存在，或找到两个都以0x为极限的数列'nx与''nx，使'limnnfx与limnnfx都存在而不相等，则0limxxfx不存在．2.7利用等价无穷小量代换求极限例8求极限30tansinlimsinxxxx．解由于sintansin1coscosxxxxx，而sin~0xxx，21cos~02xxx，33sin~0xxx故有23300tansin112limlimsincos2xxxxxxxxx．注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有tan~0xxx，sin~0xxx，而推出3300tansinlimlim0sinsinxxxxxxxx，则得到的式错误的结果．附常见等价无穷小量sin~0xxx，tan~0xxx，21cos~02xxx，7arcsin~0xxx，arctan~0xxx，1~0xexx，ln1~0xxx，11~0xxx．2.8利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x的空心领域00Ux内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例9求极限21coslimtanxxx．解由于2lim1coslimtan0xxxx，且有1cos'sinxx，22tan'2tansec0xxx，由洛比达法则可得21coslimtanxxx2sinlim2tansecxxxx3coslim2xx12．例10求极限3limxxex．解由于3limlimxxxex，并有'xxee，32'30xx，由洛比达法则可得32limlim3xxxxeexx，由于函数xfxe，23gxx均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则32limlimlimlim366xxxxxxxxeeeexxx．8注1如果0'lim'xxfxgx仍是00型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限0'lim'xxfxgx是否存在，这时'fx和'gx在0x的某领域内必须满足洛比达法则的条件．注2若0'lim'xxfxgx不存在，并不能说明0limxxfxgx不存在．注3不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件．下面这个简单的极限sinlim1xxxx虽然是型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin1coslimlim1xxxxxx，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论．2.9利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x时的特殊形式，即麦克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式2000'02!!nnnfffxffxxxxn．例11求极限2240coslimxxxex．解由于极限式的分母为4x，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n：245cos1224xxxx，22452128xxxex，2452cos12xxxex．因而求得924524400cos112limlim12xxxxxxexx．利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n．2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数yfx在点0x处可导，则下列式子成立：1．000'limxxfxfxfxxx，2．0000'limhfxhfxfxh．其中h是无穷小，可以是0xxxx，