第十三章微分方程建模

-153-第十三章微分方程建模微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1.根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。2.找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。3.运用这些规律列出方程和定解条件。列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。§1发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。1.1为什么不能用一级火箭发射人造卫星下面用三个数学模型回答这个问题1.1.1卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的昀低速度首先将问题理想化，假设：（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；（ii）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；（iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。建模与求解：设地球半径为R，质量为M；卫星轨道半径为r，卫星质量为m。根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力-154-大小为2rGMmF=（1）其中G为引力常数。为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得2RGMmmg=或gRGM2=再代入（1）式，得2⎟⎠⎞⎜⎝⎛=rRmgF（2）其中)m/s(81.92=g为重力加速度。根据假设（i），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为v，则其向心力为rmv/2，因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有rmvrRmg22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛由此便推得卫星距地面为km)(Rr−，必须的昀低速度的数学模型为rgRv=（3）取km6400=R，km600=−Rr，代入上式，得km/s6.7≈v即要把卫星送入离地面600km高的轨道，火箭的末速度昀低应为7.6km/s。1.1.2火箭推进力及升空速度火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为使问题简化，假设：（i）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。（ii）在t时刻火箭质量为)(tm，速度为)(tv，且均为时间t的连续可微函数；（iii）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u。建模与分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在),(tttΔ+内的减少量可由台劳展式表示为)()()(totdtdmtmttmΔ+Δ=−Δ+（4）因为喷出的气体相对于地球的速度为utv−)(，则由动量守恒定律有))(()()()()()(utvtotdtdmttvttmtvtm−⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ+Δ−Δ+Δ+=（5）从（4）式和（5）式可得火箭推进力的数学模型为dtdmudtdvm−=（6）令0=t时，0)0(vv=，0)0(mm=，求解上式，得火箭升空速度模型-155-)(ln)(00tmmuvtv+=（7）（6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。（7）式表明，在00,mv一定的条件下，升空速度)(tv由喷气速度（相对火箭）u及质量比)(/0tmm决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u值；从结构上设法减少)(tm。1.1.3一级火箭末速度上限火箭—卫星系统的质量可分为三部分：pm（有效负载，如卫星），Fm（燃料质量），sm（结构质量，如外壳、燃料容器及推进器）。一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制，假设：（i）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度3=ukm/s及91≥+sFsmmm（ii）初速度0v忽略不计，即00=v。建模与求解：因为升空火箭的昀终（燃料耗尽）质量为spmm+，由（7）式及假设（ii）得到末速度为spmmmuv+=0ln（8）令)()(0psFsmmmmm−=+=λλ，代入上式，得pmmmuv)1(ln00λλ−+=（9）于是，当卫星脱离火箭，即0=pm时，便得火箭末速度上限的数学模型为λ1ln0uv=由假设（i），取3=ukm，91=λ，便得火箭速度上限6.69ln30≈=vkm/s因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。1.2理想火箭模型从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大。所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。下面建立它的数学模型。假设：在),(tttΔ+时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以α与α−1的比例同时进行。建模与分析：由动量守恒定律，有-156-)()()()()(tvtdtdmttvttmtvtm⋅Δ−Δ+Δ+=α)())(()1(toutvtdtdmΔ+−⋅Δ−−α由上式可得理想火箭的数学模型为udtdmdttdvtm⋅−=−)1()()(α（10）及0)0(=v，0)0(mm=解之得)(ln)1()(0tmmutvα−=（11）由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量pm，从而昀终速度的数学模型为pmmutv0ln)1()(α−=（12）（12）式表明，当0m足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使5.10=vkm/s才行，如果取3=ukm/s，1.0=α，则可推出50/0=pmm，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。1.3多级火箭卫星系统理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到昀佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i级燃料烧尽时，第1+i级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级。我们用im表示第i级火箭质量，pm表示有效负载。为了简单起见，先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的λ，imλ表示第i级结构质量，im)1(λ−表示第i级的燃料质量。（ii）喷气相对火箭的速度u相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，记该比值为k。先考虑二级火箭。由（7）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为11lnln21211++=++++=kkummmmmmuvppλλ在第二级火箭燃烧完时，其速度为11ln2ln2212++=+++=kkummmmuvvppλλ（13）仍取3=ukm/s，1.0=λ，考虑到阻力等因素，为了达到第一宇宙速度，对于二级火箭，欲使5.102=vkm/s，由（13）式得-157-5.1011.01ln6=++kk解之得2.11=k，这时149)1(2210≈+=++=kmmmmmmppp同理，可推出三级火箭11ln33++=kkuvλ欲使5.103=vkm/s，应该25.3≈k，从而77/0≈pmm。与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。现记n级火箭的总质量（包括有效负载pm）为0m，在相同假设下（3=ukm/s，5.10=末vkm/s，1.0=λ），可以算出相应的pmm/0值，现将计算结果列于下表中：n（级数）12345…∞pmm/0×149776560…50实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭是昀好的方案。1.4昀佳结构设计下面我们将考虑当用n级火箭发射卫星时的昀佳结构，即使pmm/0昀小的结构。记pnmmmmmw++++==L2101pnmmmw+++=L22…pnmw=+1记211wwk=，…，1+=nnnwwk⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=+1211lnnnnwmwwmwuvλλL末由于211wwm−=，322wwm−=，…，1+−=nnnwwm，可以推出⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−=1)1(1)1(ln11nnkkkkuvλλL末易知npkkkmmL210=则昀佳结构问题转化为-158-nkkkL21mins.t.ckkkkknn=+−+−]1)1([]1)1([121λλLL可以推出当nkkk===L21时，pmm0昀小。§2人口模型2.1问题提出据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今却不足200万年。纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿。经过漫长的过程到1830年，人口总数达10亿，又经过100年，在1930年，人口总数达20亿；30年之后，在1960年，人口总数为30亿；又经过15年，1975年的人口总数是40亿，12年之后即1987年，人口已达50亿。我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。2.2Malthus模型1789年，英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了Malthus模型。模型假设（i）设)(tx表示t时刻的人口数，且)(tx连续可微。（ii）人口的增长率r是常数（增长率=出生率—死亡率）。（iii）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。建模与求解由假设，t时刻到ttΔ+时刻人口的增量为ttrxtxttxΔ=−Δ+)()()(于是得⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(xxrxdtdx（14）其解为rtextx0)(=(15)模型评价考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为91006.3×，在1961～1970年这段时间内，每年平均的人口自然增长率为2%，则（15）式可写为)1961(02.091006.3)(−⋅×=tetx(16)根据1700～1961年间世界人口统计数据，我们发现这些数据与（16）式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每35年增加1倍，而（16）式算出每34.6年增加1倍。但是，当人们用（15）式对1790年以来的美国人口进行检验，发现有很大差异。利用（16）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当2670=t年时，-159-15104.4)(×=tx，即4400万亿，这相当于地球上每平方米要容纳至少20人。显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率r的估计过高。由此，可以对r是常数的假设提出疑问。2.3阻滞增长模型（Logistic模型）如何对增长率r进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定