23第2课时利用一元二次方程解决面积问题1北师大版九年级上册数学知识点同步练习

第2课时利用一元二次方程解决面积问题双基演练1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（）A．8B．4C．42D．822．如图所示，李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（）A．（90+x）（40+x）×54%=90×40;B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40;C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40;D．（90+2x）（40+x）×54%=90×403．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．4．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，另一边减少5米，围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，求出在操场的长和宽．5．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？6．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱？7．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．8．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．能力提升9．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．BACED．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_________，S2=_________，S3=_________．（3）联想与探索：如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．11．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的13？聚焦中考12.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以ABAD，为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为268cm，那么矩形ABCD的面积是（）A．221cmB．216cmC．224cmD．29cm13.在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为2m；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为2m．GDCBEF（8题图）AH14.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2288m？15.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．答案:1．D点拨：可设该边的长为x，则高为12x，可列方程12·x·12x=32，解得x1=82，x2=-82，由于线段长不能为负，故x2=-82舍去．所以该边长为82．2．B点拨：镶上金色纸边后，整个挂图的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm，依题意，应选B．3．解：设原铁皮的边长为xcm，依题意列方程，得（x-2×4）2×4=400，（x-8）2=100，x-8=±10，x=8±10．所以x1=18，x2=-2（舍去）．蔬菜种植区域前侧空地答：原铁皮的边长为18cm．4．解：设现在的操场一边长x米，则另一边为1650x米，根据题意，得（x+5）·1650x=1500，即-x+1650x+25=0．所以x2-25x-1650=0．解得x1=-30（舍去），x2=55．由x=55，得1650x=30．答：现在的操场长55米，宽30米．5．解：设平行于墙的一边长为x米，则垂直于墙的一边长为91(2)2x米．依题意，列方程，得x·91(2)2x=1080，整理，得x2-93x+2160=0，解得x1=45，x2=48．因为墙长为50米，所以45，48均符合题意当x=45时，宽为91(452)2=24（米）当x=48时，宽为91(482)2=22.5（米）因此花坛的长为45米，宽为24米，或长为48米，宽为22.5米．（1）若墙长为46米，则x=48不合题意，舍去．此时花坛的长为45米，宽为24米；（2）若墙长为40米，则x1=45，x2=48都不符合题意，花坛不能建成（3）通过对上面三题的讨论，可以发现，墙长对题目的结果起到限制作用．若墙长大于或等于48米，则题目有两个解；若墙长大于或等于45米而小于48米，则只有一个解；若墙长小于45米，则题目没有解，也就是符合条件的花坛不能建成．6．解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米．依题意，有x（x+2）×1=15．整理，得x2+2x-15=0，解得x1=-5（舍去），x2=3，所以这种运动箱底部长为5米，宽为3米．由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为（5+2）×（3+2）=35所以做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）点拨：题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．7．解：设一个正方形的边长为xcm．依题意，得x2+（6444x）2=160，整理，得x2-16x+48=0，解得x1=12，x2=4，当x=12时，6444x=4．当x=4时，6444x=12．答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm．点拨：题目中的64cm也就是两个正方形的周长，设出其中的一个正方形的边长，另一个正方形的边长可用（6444x）来表示．根据正方形的面积公式即可列方程．8．设小路宽为x米，（32-x）（20-x）=540，x1=2，x2=50（舍去），答：小路宽为2米．9．设道路的宽为x，AB=a，AD=b则（a-2x）（b-2x）=12ab解得：x=14[（a+b）-22ab]量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=22ab），得L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽4ABADBD，即224abab．10．解：（1）如答图．（2）ab-b；ab-b；ab-b（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b．方案：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移一个单位；（3）得到一个新矩形，如答图，理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，而水平方向的长变成了（a-1），所以草地的面积就是b（a-1）=ab-b．11．解：设x秒后，S△MBN=13S△ABC，由题意得（8-x）×（6-x）×12=13×12×6×8，x2-14x+32=0，x1=7+17，x2=7-17，∵BC=6米，∴0≤x≤6，∴x1=7+17不合题意，舍去，答：当7-17秒后，S△MBN=13S△ABC．12.B13．(1)ab（或aba）(1)ab（或aba）14．解法一：设矩形温室的宽为mx，则长为2mx．根据题意，得(2)(24)288xx．解这个方程，得110x（不合题意，舍去），214x．所以14x，221428x．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是2288m．解法二：设矩形温室的长为mx，则宽为1m2x．根据题意，得12(4)2882xx．解这个方程，得120x（不合题意，舍去），228x．所以28x，11281422x．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是2288m．15．解：（1）ab－4x2；·············································································2分（2）依题意有：ab－4x2=4x2，··············4分将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，·········6分解得)(3,321舍去xx．·················7分即正方形的边长为3．