专项训练一特殊平行四边形北师大版九年级下册数学

专项训练一特殊平行四边形一、选择题1．(益阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD第1题图第2题图第3题图2．(2016·遵义中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是()A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠BAC＝∠DAC3．(2016·宁夏中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为()A．22B.2C．62D．82第4题图第5题图第6题图4．(日照中考)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中，选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形(如图)．现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④5．(2016·黔东南州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为()A．2B．3C.3D．236．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为CA．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝3，则四边形AECF的周长为()A．22B．18C．14D．11第7题图第8题图8．(临沂中考)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．AB＝BEB．BE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE9．(安徽中考)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A．25B．35C．5D．6第9题图第10题图10．★(深圳中考)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF.给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF＝725.其中所有正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．(2016·扬州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．第11题图第12题图第13题图12．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为________．13．13．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝________．14．(2016·巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝________°.第14题图第15题图第16题图15．(2016·青岛中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．16.(玉林中考)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上，BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积是________．三、解答题17．(2016·聊城中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．18．(青岛中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为点E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．19．★(泰州中考)如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．参考答案与解析1．D2.C3.A4.B5.D6.C7.A8.B9.C解析：连接EF交AC于O.∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.在△CFO与△AEO中，∠FCO＝∠EAO，∠FOC＝∠EOA，OF＝OE，∴△CFO≌△AEO，∴AO＝CO.∵AC＝AB2＋BC2＝45，∴AO＝12AC＝25.∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴AOAB＝AEAC，∴258＝AE45，∴AE＝5.故选C.10．C解析：由折叠的性质可知DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°.又∵DG＝DG，∴Rt△DAG≌Rt△DFG，∴①正确；∵正方形ABCD的边长为12，∴BE＝EC＝EF＝6.设AG＝GF＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x.由勾股定理得EG2＝BE2＋BG2，即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，∴BG＝2AG，∴②正确；∵BE＝EF＝6，∴△BEF为等腰三角形，易知△GDE不是等腰三角形，∴③错误；∵BE＝6，∴BG＝8，∴EG＝BE2＋BG2＝10，S△BEG＝12×6×8＝24，∴S△BEF＝EFEG·S△BEG＝610×24＝725，∴④正确．故选C.11．2412.1013.35°14.1515.72解析：∵CE＝5，△CEF的周长为18，∴CF＋EF＝18－5＝13.∵F为DE的中点，∴DF＝EF.∵∠BCD＝90°，∴CF＝12DE，∴EF＝CF＝12DE＝6.5，∴DE＝2EF＝13，∴CD＝DE2－CE2＝132－52＝12.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF＝12(BC－CE)＝12(12－5)＝72.16．4.5解析：作点A关于CD的对称点A′，作点E关于BC的对称点E′，连接A′E′，交BC，CD于点P，Q，此时所得四边形AEPQ的周长最短，易求得其面积为4.5.17．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.在△AFE和△CDE中，∠AFE＝∠CDE，∠AEF＝∠CED，AE＝CE，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠B＝90°，AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠ACD，∴DA＝DC，∴四边形ADCF是菱形．18．(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AE∥BC，CE⊥AE，∴∠E＝∠DCE＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中，AD＝CE，AB＝CA，∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)；(2)解：DE∥AB，DE＝AB.证明如下：∵四边形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝BD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB，DE＝AB.19．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA.∵AE＝DH，∴BE＝AH.又∵AE＝BF，∴△AEH≌△BFE，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF.同理：FE＝GF＝HG，∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形．∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；(2)解：直线EG经过正方形ABCD的中心．理由如下：连接BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB.∵AE＝CG，∴BE＝DG.又∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD，∴BO＝DO，即点O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)解：设AE＝DH＝x，则AH＝8－x.在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.