第二十七章相似中考演练讲义及试卷初中数学人教版九年级下册教学资源

1本章中考演练一、选择题1．[2015·石家庄模拟]已知ba＝513，则a－ba＋b的值是()A.23B.32C.94D.49[解析]D先设出b＝5k，则a＝13k，再把a，b的值代入，∴a－ba＋b＝13k－5k13k＋5k＝8k18k＝49.2．[2015·嘉兴]如图27－Y－1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则DEEF的值为()A.12B．2C.25D.35[答案]D图27－Y－1图27－Y－23．[2015·成都]如图27－Y－2，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，BD＝3，AE＝4，则EC的长为()A．1B．2C．3D．4[解析]B根据平行线段的比例关系，知ADDB＝AEEC，即63＝4EC，EC＝2.故选B.4．[2015·永州]如图27－Y－3，下列条件不能．．判定△ADB∽△ABC的是()A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·ACD.ADAB＝ABBC[解析]D在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，当∠ABD＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC2或ADAB＝ABAC时，△ADB∽△ABC，而不是ADAB＝ABBC.故选D.图27－Y－3图27－Y－45．[2015·铜仁]如图27－Y－4，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶CE＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A．3∶4B．9∶16C．9∶1D．3∶1[解析]B∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴△DFE∽△BFA.∵DE∶EC＝3∶1，∴DE∶DC＝3∶4，∴DE∶AB＝3∶4，∴S△DFE∶S△BFA＝9∶16.6．[2014·白银]如图27－Y－5，在边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y.则在下面的函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是()图27－Y－5图27－Y－6[解析]C根据题意，知BF＝1－x，BE＝y－1，且△EFB∽△EDC，则BFCD＝BECE，即1－x1＝y－1y，所以y＝1x(0.2≤x≤0.8)，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．选项A，D的图象都是直线的一部分，选项B的图象是抛物线的一部分，选项C的图象是双曲线的一部分．故选C.7．[2014·毕节]如图27－Y－7，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于()3A.154B.125C.203D.174[解析]A∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴DCDE＝ADBD.∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8，∴AD＝3，DE＝5.又∵BD＝4，∴DC5＝34，∴DC＝154.故选A.图27－Y－7图27－Y－8二、填空题8．[2015·秦皇岛模拟]如图27－Y－8，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形____________(用相似符号连接)．[答案]答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等[解析]∵锐角三角形ABC的边AB和AC上的高CE和BF相交于点D，∴∠AEC＝∠BEC＝∠AFB＝∠CFB＝90°.∵∠ABF＝∠DBE，∠ACE＝∠DCF，∴△ABF∽△DBE，△ACE∽△DCF.∵∠EDB＝∠FDC，∴△EDB∽△FDC.∴△ABF∽△DBE∽△DCF∽△ACE.9．[2014·遵义]“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图27－Y－9，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中4点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，则FH＝________里．图27－Y－9[答案]1.05[解析]∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，∴△GEA∽△AFH，∴GEAF＝AEHF.∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，∴153.5＝4.5HF，∴FH＝1.05里．10．[2015·自贡]－副三角板叠放在一起如图27－Y－10，则△AOB与△DOC的面积之比为________．[答案]1∶3[解析]首先设BC＝x，根据题意可得∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∠D＝30°，即可求得CD与AB的长．因为△AOB∽△COD，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOB与△DOC的面积之比．图27－Y－10图27－Y－1111．[2014·孝感]如图27－Y－11，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝kx(x0)经过斜边OA的中点C，与另一条直角边交于点D.若S△OCD＝9，则S△OBD的值为________．5[答案]6图27－Y－12[解析]如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E.∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB.∵C为Rt△OAB的斜边OA的中点，∴CE为Rt△OAB的中位线，∴△OEC∽△OBA，且OCOA＝12.∵双曲线所对应的函数解析式是y＝kx，∴S△BOD＝S△COE＝12k，∴S△AOB＝4S△COE＝2k.由S△AOB－S△BOD＝S△OAD＝2S△DOC＝18，得2k－12k＝18，解得k＝12，∴S△BOD＝12k＝6.故答案为6.三、解答题12．[2014·岳阳]如图27－Y－13，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm.球目前在点E的位置，AE＝60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．6图27－Y－13解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG.∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，∴∠BFE＝∠CFD.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF.(2)∵△BEF∽△CDF，∴BECD＝BFCF，即130－60130＝260－CFCF，∴CF＝169cm.13．[2015·黄冈]已知：如图27－Y－14，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.(1)求证：∠BCP＝∠BAN；(2)求证：AMMN＝CBBP.图27－Y－14[解析](1)由AC为⊙O直径，得到∠NAC＋∠ACN＝90°，由AB＝AC，得到∠BAN＝∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN＋∠PCB＝90°.(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC＝∠AMN，证出△BPC∽△MNA，从而证得AMMN＝CBBP.证明：(1)∵AC为⊙O直径，∴∠ANC＝90°，∴∠NAC＋∠ACN＝90°.∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN.∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP＝90°，7∴∠ACN＋∠PCB＝90°，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN.(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴AMMN＝CBBP.14．[2013·绍兴]若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图27－Y－15①，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称矩形ABCD为方形．(1)设a，b是方形的一组邻边，写出a，b的值(一组即可)．(2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连接两边对应的等分点，以这些连接线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图②所示．①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形，为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．图27－Y－15解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6.(2)①以B4C4为一边的矩形不是方形．理由：由题意，可知B4C4BC＝1620，∴B4C4＝25×1620＝20.∵20÷4＝5≠2，∴此矩形不是方形．8②设BC边上的高为h，由题意可知，BCh＝B3C335h.若B3C3＝2×15h，则BCh＝23；若B3C3＝12×15h，则BCh＝16.综上所述，若以B3C3为一边的矩形为方形，则BC与BC边上的高之比为23或16.15．[2013·苏州]如图27－Y－16，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长，交边AB于点E，连接BP并延长，交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD.(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x之间的函数解析式；②当x＝6时，求线段FG的长．图27－Y－16解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP.在△APB和△APD中，AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，AP＝AP，∴△APB≌△APD.(2)①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFP∽△CBP，∴AFBC＝FPBP.∵DF∶FA＝1∶2，9∴AF∶BC＝2∶3，∴FP∶BP＝2∶3.由(1)知PB＝PD＝x.又∵PF＝y，∴yx＝23，∴y＝23x.即y与x之间的函数解析式为y＝23x.②当x＝6时，y＝23×6＝4.∴FB＝FP＋PB＝10.∵DG∥AB，∴△DFG∽△AFB，∴FGFB＝FDFA，∴FGFB＝12，∴FG＝12×10＝5.∴线段FG的长为5.