第三篇数学分支中的相关数学模型选编

第三篇数学分支中的相关数学模型§1高等数学相关模型1.1卫星轨道长度1.2射击命中概率1.3人口增长率§2线性代数相关模型2.1投入产出综合平衡分析2.2输电网络§3概率统计相关模型3.1合金强度与碳含量3.2年龄与运动能力3.3商品销售量与价格§1高等数学相关模型问题1.1卫星轨道长度人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆.我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439km，远地点距地球表面2384km，地球半径为6371km,求该卫星的轨道长度.分析卫星轨道椭圆的参数方程)20(sin,costtbytax椭圆长度分别是长、短半轴ba,122222204(sincos)Ldlatbtdt椭圆积分无法解析计算输出MATLAB程序functiony=x5(t)a=8755;b=6810;y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2);t=0:pi/10：pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1)L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6)L1=4.908996526785276e+004L2=4.908996531830460e+004输出求解梯形公式辛普森公式68104396371,875523846371ba评注问题1.2射击命中概率炮弹射击目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标中心发射时，在众多因素影响下，弹着点与目标中心有随机偏差.分析设目标中心x=0,y=0,)(21222221),(yxyxyxeyxp无法解析计算设弹着点围绕中心成二维正态分布,且偏差在X方向和Y方向相互独立.若椭圆在X方向半轴长120m,Y方向半轴长80,设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m.求炮弹落在椭圆形区域内的概率.则弹着点(x,y)概率密度函数myx1001:,),(2222byaxdxdyyxpP炮弹命中椭圆形区域的概率80,120ba求解：蒙特卡罗方法这是一种随机实验的方法，用它来计算定积分的原理可以从下面的直观例子得出。如图所示：投石算面积随机投点法从概率论的观点看上例，记投点的坐标为(,),1,,iixyin每个坐标视为相互独立的、（0，1）取间内均匀分布的随机变量，简称（0，1）随机数。根据大数定律，事件“落在四分之一单位圆面积内”发生的频率（依概率）收敛于（）该事件发生的概率P，不妨写作，而P可以用积分表示为(,)iixyknnkPn1()12000()()()1fxPPyfxdydxfxdxfxx于是当，可以用随机投点法作近似计算0()1fx10()kfxdxn这里n是二维（0，1）随机数的总数，k是其中满足的数目。（0，1）随机数可以用计算机方便的产生。(,)iixy()iiyfxrand(1,n)产生n个（0，1）随机数，用于蒙特卡罗方法。重积分的计算：12(,):01,0()()1fxydxdyxgxygx设(,),1,,iixyin是相互独立的（0，1）随机数，判断每个点(,)iixy是否落在域内，将落在域内的m个点记作(,),1,,kkxykm,则11(,)(,)mkkkfxydxdyfxyn求解：蒙特卡罗方法作变换,,bvyaux以100(m)为1单位，则8.0,2.1,1bayxdudvvupabP),(1:,21),(22)(212222vuevupvbuaMATLAB程序输出a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;fori=1:nx=rand(1,2);y=0;ifx(1)^2+x(2)^2=1y=exp(-0.5*(a^2*P=0.3752,m=78.552x(1)^2+b^2*x(2)^2));z=z+y,m=m+1endendp=4*a*b*z/2/pi/n,m评注问题11.3人口增长率20世纪美国人口数据(106),年份1900191019201930人口76.092.0106.5123.2194019501960197019801990131.7150.7179.3204.0226.5251.4计算各年份人口增长率.记时刻t人口为x(t)，则人口相对增长率为分析)(/)(txdtdxtr记1900年为k=0求解：数值微分三点公式8,,2,1,2011kxxxrkkkk99879021002034,2043xxxxrxxxxr年增长率2.201.661.461.021.041.581.491.161.051.04评注问题2已知某地区20世纪70年代的人口增长率,且1970年人口为210（百万），年份197019721974年增长率（%）0.870.850.891976197819800.910.951.10试估计1980年的人口.记时刻t人口为x(t)，则人口增长满足微分方程分析)()(txtrdtdx记1970年为k=0求解tduurextx0)(0)(评注0)0(xx1980年该地区人口为230.2（百万）数值积分梯形公式为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：以由西向东方向为x轴，由南到北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位mm）.习题：国土面积问题根据地图比例,18mm相当于40km，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值41288km比较.§2线性代数相关模型背景2.1投入产出综合平衡分析国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）.投入产出综合平衡模型:根据各部门间的投入—产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求.设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元）简化问题产出投入农业制造业服务业外部需求总产出农业15203035100制造业301045115200服务业2060/70150外部需求3511075总投入100200150说明假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表能够确定这三个部门的投入产出表投入农业制造业服务业农业0.150.100.20制造业0.300.050.30服务业0.200.300说明表中数字称为投入系数或消耗系数假设系数是常数产出☞设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的模型.☞如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，三个部门总产出？☞模型可行：对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出.为使模型可行,投入系数满足？☞如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，他们的总产出应分别增加多少？分析投入产出综合平衡分析①若有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为xi，其中对第j个部门的投入为xij，满足的外部需求为di，则nidxxinjiji,,2,1,1投入产出表每一行都满足记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij，在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有njixxajijij,,2,1,,nidxaxinjjiji,,2,1,1记投入系数矩阵nnijaA)(产出向量Tnxxx),(1需求向量Tnddd),(1dAxxdxAI)(则或若I-A可逆，则dAIx1)(☜各部门总产出MATLAB程序a=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];d=[50150100];b=eye(3)-a;x=b\d,c=inv(b)◈三部门总产出:139.2801,267.6056,208.1377亿元◈外部需求分别增加1个单位时，总产出分别增加C=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167部门关联系数当对农业的需求增加1个单位时,农业、制造业、和服务业的总产出分别增加1.3459，0.5634，0.4382单位dAIx1)(☜模型可行njaniij,,2,1,11若问题2.2输电网络一种大型输电网络可简化为电路负载电阻nRRR,,,21线路内阻nrrr,,,21电源电压VTnIII),(1负载电流☞列出各负载上电流的方程☞设☞讨论情况18,6,1,,11VRrrrrRRRnnn=10,求nIII,,,21及总电流0InV1I2InI1r2rnr1R2RnR0I分析☞记nrr,,1上的电流为niii,,,21根据电路中电流、电压关系,列出111122221111nnnnnnIRIRirIRIRirVIRirnnnnniIiiIiiIiiI112321210)(0)()(11222211121111nnnnnnnIrRIRIrIrRIRVIrIrIrR消niii,,,21和求电流方程☞ERI求电流方程☞其中11111122221000nnnRrrrrRRrrrRRRr12,,,,,0,,0TTnIIIIEVMATLAB计算电流程序r=1;R=6;v=18;n=10;b1=sparse(1,1,v,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n));a2=diag(R*ones(1,n));a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3;I=a\b;I0=sum(I)k0123456789105.99706.00002.00052.00001.33441.33330.89070.88890.59550.59260.39950.39510.27020.26340.18580.17560.13240.11710.10110.07800.08670.0520k111213141516171819200.03470.02310.01540.01030.00690.00470.00320.00230.00180.0015)20()10(nInIkk)20(nIk说明从n=10到n=20，I0几乎不变，I1-I5变化也很小Ik+1差不多是Ik的2/3倍如果n增加到50,100?可以得到类似的结论证明Ik+1是Ik的2/3倍•习题：种群的繁殖与稳定收获•种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变.种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性.•种群年龄记作当年年龄的种群数量记作，繁殖率记作（每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作为一年的死亡率），收获量记作，则来年年龄的种群数量应为,,,2,1nkkkxkbkkkdds,1(khkkx~11111,(1,2,,1)nkkkkkkkxbxhxsxhkn•（1）若已知，给定收获量，建立求各年龄的稳定种群数量的模型（用矩阵、向量表示）。•（2）设•如要求为500，400，200，100，100,•求。•（3）使均为500，如何达到?kksb,khkx,6.0,4.0,3,5,0,5324143521ssssbbbbbn51~hh51~xx51~hh解：（1）111211211nkkknnnnxbxhxsxhxsxh111121222121111000000000nnnnnnnnnxxhbbbbxxhssxxhsxxh