基本计数原理和排列组合(概念复习及专题训练含答案)

高中数学综合复习满分系列正确的指导有效的训练为高考的成功提供保障1第一章计数原理———基本计数原理和排列组合（概念篇）一、概念回顾：（一）两个原理.1.加法原理每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相．．．同．(．即分类不重．．．．．)．；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)2.乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务．．．．．．．．．．．．．．．．．，必须且只须连续完成这．．．．．n．步．才能完成此任务；各步计数相互独立．．．．；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同3.可以有重复元素．．．．．．．的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数nmmmmm.......例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm种）（二）排列组合1、排列（1）排列数的计算：从n个不同元素中取出)(nmm个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnA表示.（2）排列数公式：),,()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn规定1!0注：含有可重元素．．．．．．的排列问题对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素naaa,...,,21其中限重复数为knnn...21、、，且knnnn...21,则S的排列个数等于!!...!!21knnnnn.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3n.2、组合（1）组合数的计算：从n个不同的元素中任取)(nmm个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnC表示。（2）排列数公式：：)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn规定10nnnCC高中数学综合复习满分系列正确的指导有效的训练为高考的成功提供保障2（3）两个公式：①mnnmnCC②mnmnmnCCC11二、基础训练：1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（）（A）12种（B）18种（C）24种（D）96种3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A）6种（B）9种（C）18种（D）24种4．由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为（）（A）l：l（B）2：3（C）12：13（D）21：235．由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是（）（A）42031（B）42103（C）42130（D）430216．若直线方程0ByAx的系数BA、可以从0，1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（）（A）25A一2（B）25A（C）25A+2（D）25A－215A7．从edcba,,,,这五个元素中任取四个排成一列，b不排在第二的不同排法有（）（A）3514AA（B）2313AA（C）45A（D）3414AA8.三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？9.6个人站一排，甲不在排头，共有种不同排法．10.6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有种不同排法．11.五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有种．三、解题方法及训练：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：1、特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个奎屯王新敞新疆（30个）2、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______奎屯王新敞新疆(答案:3600)高中数学综合复习满分系列正确的指导有效的训练为高考的成功提供保障33、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种奎屯王新敞新疆（答案：240）4、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆排列组合应用题往往和数学其他章节某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时，要注意使用相关知识对答案进行取舍。例如：从集合11,7,5,3,2,1,0中任取3个元素分别作为直线方程0CByAx中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条奎屯王新敞新疆（答案：30）5、剪截法（隔板法）：n个相同小球放入)(nmm个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选1m个结点剪成m段（插入1m块隔板），有11mnC种方法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆练一练：例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：2727AA新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：6267AA新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆另法：用捆绑与剔除相结合：827827AAA新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：442442AAA新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（4）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解:431442AAA新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆真题训练：2009年一、选择题1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A.36种B.12种C.18种D.48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212ACC；若小张、小赵都入选，则有选法122322AA，共有选法36种，选A.高中数学综合复习满分系列正确的指导有效的训练为高考的成功提供保障44.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【答案】C.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有122A种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448（个）.故选C.6．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A（个），当0不排在末位时，有111488488256AAA（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328（个）.故选B.7.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A）6种（B）12种（C）24种（D）30种答案：C解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数2424CC=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为24C=6，故只恰好有1门相同的选法有24种。8.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解:分两类(1)甲组中选出一名女生有112536225CCC种选法;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)乙组中选出一名女生有211562120CCC种选法.故共有345种选法.选D10.(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.18A.24B.30C.36D【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，顺序有33A种，而甲乙被分在同一高中数学综合复习满分系列正确的指导有效的训练为高考的成功提供保障5个班的有33A种，所以种数是23343330CAA12.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有62223AC种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生