专题02(第二篇)-备战2020年高考满分秘籍之数学压轴题天天练(解析版)

专题02备战2019高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练02第一题【河南省洛阳市2019届高三第二次】如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20B．27C．54D．64【答案】B【解析】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：B第二题【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次】在四面体中，平面，，，若四面体的外接球的表面积为，则四面体的体积为（）A．24B．12C．8D．4【答案】C【解析】取BC的中点E，由AB=AC=，BC=2，所以为等腰三角形，，AE=3，CE=1，所以外接圆的圆心在AE上.设外接圆半径为r，则在直角三角形中，，设四面体的外接球球心为O，连接,则平面ABC,又平面，所以∥,又OA=OB=OC=OD，所以设四面体的外接球的半径为R，则，,在直角三角形中,,,所以,故选C.第三题【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数，，中，与函数不是．．亲密函数的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】易知幂函数定义域为，偶函数，在上，，在上，，.四选项中函数的定义域都为且都为偶函数，单调性也与保持一致，显然在上递增，又，，递增，当，除（显然）外，其他函数的值都趋向于.故选B.第四题【河南省许昌市、洛阳市2019届高三三模】已知数列，的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值为（）A．B．C．49D．【答案】B【解析】当时，，解得.当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以.则，故，由于是单调递增数列，，故的最小值为，故选B.第五题【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次】已知，曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的最小值为（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】由，，由，.设两曲线的公共点P，因为两曲线在公共点处的切线相同，所以，由，，，又，所以，消去得，设，，令，此时，又，时，，所以时取极小值即.故选B.第六题【河南省洛阳市2019届高三第二次】若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得：，因为函数恰有两个极值点，所以函数有两个不同的零点.令，等价转化成有两个不同的实数根，记：，所以，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递减，作出的简图如下：要使得有两个不同的实数根，则，即：，整理得：.故选：D第七题【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.第八题【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次】已知，，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，=（当且仅当即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.第九题【湖南省衡阳市2019届高三二模理】若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设公切线与函数，分别切于点，，则过，的切线分别为：、，两切线重合，则有：代入得：，构造函数：，，，，.，，，，∴，.欲合题意，只须.第十题【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次检测】已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】因为是等腰三角形且，所以.设，因为，所以，得，,又Q在椭圆上，所以，，又，所以，，，,故答案为.第十一题【河南省洛阳市2019届高三第二次】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.【答案】【解析】如下图，正方体中作出一个正四面体将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：要使得最小，则三点共线，即：，设正四面体的边长为，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：，所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，设四正面体内切球的半径为，由等体积法可得：，整理得：，解得：，所以该四面体内切球的体积为.第十二题【河北省衡水中学2018届高三十五模】若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）==0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=ex-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B第十三题【河南省洛阳市2019届高三第二次】已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．【答案】【解析】依据题意作出如下图象，其中，垂足为，所以点为线段的中点，由题可得：原点到直线的距离，不妨令，由可得：，，则：，在中，有，在中，有，联立方程组（1）（2），解得：第十四题【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次检测】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：组别年龄组统计结果组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车27人13人40人20人23人17人35人25人20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自组，求组这4人中得到礼品的人数的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应取25还是35？请通过比较的观测值的大小加以说明.参考公式：，其中.【答案】(1)①9人②见解析；(2)【解析】（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为.②组这4人中得到礼品的人数的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：，，，.故其分布列为0123∴.（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到35岁12575200达到35岁5545100合计180120300时，由（1）中的列联表，可求得的观测值.时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到25岁6733100达到25岁11387200合计180120300可求得的观测值.∴，欲使犯错误的概率尽可能小，需取.第十五题【湖南省衡阳市2019届高三二模理】已知椭圆：上点，过作两直线分别交于点，，当点，关于坐标原点对称且直线，斜率存在时，有.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，关于直线对称，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）若，关于坐标原点对称，设，，依题：，故椭圆的标准方程为.（2）设，，依题：，设直线：，，.同理，.设直线：，，，，.（取等）故直线的方程为.第十六题【河南省洛阳市2019届高三第二次】已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆的左焦点，离心率为，直线与椭圆相交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）若是弦的中点，是椭圆上一点，求的面积最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】∵，为椭圆的左焦点，设椭圆的焦距为，所以，∵离心率为，∴，又，所以，∴椭圆的方程为：.（2）设，.∵是弦的中点，∴直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为：，即.由联立，整理得：，因为直线与椭圆相交，所以成立.∴，，∴，∴，∴直线的方程为：，，，∴.要使的面积最大值，而是定值，需点到的距离最大即可.设与直线平行的直线方程为：，由方程组联立，得，令，得.∵是椭圆上一点，∴点到的最大距离，即直线到直线的距离.而，此时.因此，的面积最大值为.第十七题【河南省许昌市、洛阳市2019届高三第三次检测】已知函数.（1）讨论的极值点的个数；（2）若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围.【答案】(1)时，有一个极值点；当时，有两个极值点.(2)或或【解析】（1）的定义域为，.由得或.当时，由得，由得，∴在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，无极大值；当，即时，由得，或，由得，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，在处取得极大值.综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点.（2）当时，设，则在上有且只有一个零点.显然函数与的单调性是一致的.①当时，由（1）知函数在区间上递减，上递增，所以在上的最小值为，由于，要使在上有且只有一个零点，需满足或，解得或.②当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∵，∴当时，总有.∵，∴，又∴在上必有零点.∵在上单调递增，∴当时，在上有且只有一个零点.综上，当或或时，方程在上有且只有一个实根.第十八题【湖南省衡阳市2019届高三二模理】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）解关于的不等式.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）依题：且，，.令，，∴在定义域上单调递增，∴，，，；，，.（2）【法一】当时，，不合题意.当时，不等式左右相等，不合题意.当时，易证：，现证：，证：.令，，∴，∴.∴合题.当时，不等式，令，，易证：，∴，，.综上可得：.【法二】当时，，不合题意.当时，不等式左右相等，不合题意.当时，易证：，现证：，证：.证：证：，，.∴，∴，∴合题.当时，，易证：.先证：证证.令，，时，，∴.综上可得：.第十九题【河南省洛阳市2018-2019学年高中三年级第二次统一考】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）的定义域为，.①时，，所以在上单调递增；②时，由得，得.即在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，①若，即时，在上单调递增，，在区间上无零点.②若，即时，在上单调递减，在上单调递增，.∵在区间上恰有两个零点，∴，∴.③若，即时，在上单调递减，，，在区间上有一个零点.综上，在区间上恰有两个零点时的取值范围是.第二十题【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】如图①，在中，，的中点为，点在的延长线上，且.固定边，在平面内移动顶点，使得圆分别与边，的延长线相切