专题01-过“三关”破解概率与统计问题(第六篇)-2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版

一．方法综述概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学知识解决问题．解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力．除以上过“三关”外，对于概率与统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关．本专题重点说明破解概率与统计问题的方法与技巧.二．解题策略类型一过“文字关”——抓关键语句，破干扰信息【例1】【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】(1).(2)（i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.学%科网【指点迷津】1.此类问题文字叙述较长，解答问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解“无关信息”；(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例数字、字母等)；(3)明确题目所求内容．2.本题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.【举一反三】【2018届【衡水金卷】四省第三次大联考】2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为，男球迷选择德国队的概率为，记为三人中选择德国队的人数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）由题意结合古典概型计算公式可知满足题意的概率值为.（2）由题知，计算相应的概率值可得，，,，据此得到相应的分布列，计算其数学期望为.详解：（1）设恰好有两支球队被人选择为事件，由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支，有种不同选择，每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被人选择有种不同选择，所以.学*科网[来源:学科网ZXXK]∴.类型二过“图表关”——会转换信息，思解题方法【例2】【2018年理北京卷】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．【答案】(1)概率为0.025(2)概率估计为0.35(3)=【指点迷津】从所给表格中正确提取解题所需要的信息是解决此类问题的关键．【举一反三】【2018年全国卷Ⅲ理】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高.理由见解析（2）80（3）能（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515[来源:Zxxk.Com]（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.类型三过“计算关”——明算理，精计算，防失分【例3】【山东省济南市2018届三模】近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数,表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要年才能开始盈利,求的值.参考数据:其中其中参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.【答案】(1)见解析;(2)活动推出第天使用扫码支付的人次为;(3)见解析.（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：；求出相应的概率值，然后求出一名乘客一次乘车的平均费用1.66，由题意可知：，解不等式即可.（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：；；学*科网；；，所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元），由题意可知：，，所以，取；估计这批车大概需要7年才能开始盈利.【指点迷津】（1）在计算K2的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中n，a，b，c，d所表示的值．（2）利用最小二乘法求“b^”时，应注意避免计算出错．（3）计算随机变量的概率，往往涉及排列组合计算，易于出错，应特别细心.【举一反三】【山东省威海市2018届三模】某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】（1）（2）有的把握（3）395【解析】（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为男性女性合计消费金额≥300204060消费金额＜300251540合计4555[来源:学*科*网]100所以有的把握认为消费金额与性别有关.学科#网三．强化训练1．【2018届广东省佛山市检测二】单位计划组织55名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为1%,且每个人血检是否呈阳性相互独立.(Ⅰ)根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验．现有两个分组方案：方案一:将55人分成11组,每组5人；方案二：将55人分成5组,每组11人；试分析哪一个方案工作量更少？(Ⅱ)若该疾病的患病率为0.4%,且患该疾病者血检呈阳性的概率为99%,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据:5110990.9510.990.895.，)【答案】（1）方案二工作量更少.（2）39.6%.【解析】分析：(Ⅰ)方案一中化验次数为1或者6，方案二中化验次数为1或13，分别求出两种方案化验次数的分布列，求出期望，通过比较期望大小可得结论；(Ⅱ)设事件A：血检呈阳性；事件B:患疾病．则题意有PA0.01,PB)0.004,pA|B0.99（,利用条件概率公式可得，注意要求的概率是P(B|A).详解：[来源:学&科&网Z&X&X&K]X16P[来源:学_科_网]0.9510.049所以10.95160.0491.245EX.故方案一的化验总次数的期望为:11EX110.24513.695次.设方案二中每组的化验次数为Y，则Y的取值为1，12，学&科网所以1111PY10.990.895,1210.990.105PY，所以Y的分布列为Y112P0.8950.105所以EY10.895120.1052.155.故方案二的化验总次数的期望为：5EX52.15510.775次.因13.69510.775，所以方案二工作量更少.方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X,则X的取值为1655，.方案二中每个人的化验次数为,则Y的取值为1121111，.同方法一可计算得0.249,0.196EXEY,因EXEY,所以方案二工作量更少.2.【山东省烟台市2018届适应性练习（二）】某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对其每个月的二手房成交量进行统计，表示开业第个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认