北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及面积计算

北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及面积计算1/6北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及其面积计算考题再现：（2017年菏泽）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于A.B两点，B点的坐标为(3，2),连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA.21世纪21世纪教育网有（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积.题意分析（1）确定反比例函数y=ax的表达式只需知道图像上一个点的坐标即可，B点就实现了这个目标；确定直线y=kx+b的表达式还需要确定点A的坐标，点A坐标的确定就需要利用给出的条件进行必要的推理得到；（2）求三角形△AOB的面积，就需要解答者有较扎实的数学基本功，较强的知识综合能力，特别是图形面积的分割方式尤其重要，不同思路就得到不同的求解方法，这也体现数学一题多解的重要思想，同时也真正实现以点带面，触类旁通的学习效果.问题解决（1）因为反比例函数y=ax的图象过点B，且B点的坐标为(3，2),所以k=2×3=6,所以反比例函数的表达式为y=6x；因为BD⊥y轴，所以by=yc=2,因为OC=CA，所以Ay=2yc=4,所以Ax=32,所以点A（32，4）；把点A（32，4），点B(3，2)分别代入y=kx+b，得3k+b=423k+b=2，解得4k=-3b=6，北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及面积计算2/6所以直线AB的表达式为y=-43x+6；下面就如何求三角形AOB的面积进行详细的探析，供借鉴.（2）解法1以BC为底边分割三角形如图1，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，交BC于点F，因为点A（32，4）,所以直线OA的表达式为y=83x,因为yc=2，所以cx=34，所以BC=Bx-cx=3-34=94，所以SAOB=ABCOBCSS=12BCAF+12BCOD=12BCAF+12BCEF=12BC(AF+EF)=12BCAE=12×94×4=92.图1点评这是一条非常有效的解题思路，借助直线解析式确定C的坐标，从而确定底边BC的长度，为表示三角形AOB的面积奠定基础，其次，熟练确定三角形底边的高也是解题的一个重要技巧，最后能熟练求解平行x轴的直线上两点间的线段长等于靠近右边的点的横坐标与靠近左边的点的横坐标的差也是解题的关键之一.解法2以AG为底边分割三角形如图2，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，交BC于点F，交OB于点G，因为点B（3，2）,所以直线OB的表达式为y=23x,因为Ax=32,所以yG=1，所以AG=Ay-yG=4-1=3，所以SAOB=ABGAOGSS=12AGBF+12AGOE=12AG(BF+OE)=12BCAE=12×3×3=92.北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及面积计算3/6图2点评这是一条非常有效的解题思路，借助直线解析式确定G的坐标，从而确定底边AG的长度，为表示三角形AOB的面积奠定基础，其次，熟练确定三角形底边的高也是解题的一个重要技巧，最后能熟练求解平行y轴的直线上两点间的线段长等于靠近上面的点的纵坐标与靠近下边的点的纵坐标的差也是解题的关键之一.解法3等积梯形代换法如图3，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，交OB于点G，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，因为点A点，点B都在反比例函数的图像上，所以AOEBOHSS，所以AOGGEHBSS四形所以SAOB=ABGS+GEHBS四形=S四形ABHE=12EH(BH+AE)=12(3-32)(2+4)=92.图3点评把三角形的面积转化成与之相等的梯形的面积也是求三角形面积的有效方法之一，要熟练掌握，并北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及面积计算4/6能灵活运用.解法4构造矩形法如图4，过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，二线交于点G，则四边形GFOE是矩形，且面积为12，三角形AOF和三角形BOE的面积为6，三角形ABG的面积为12(3-32)(4-2)=32，所以SAOB=12-6-32=92.图4点评把三角形的面积通过补形法置于一个矩形中，而矩形的面积可求，其余生成的三个三角形的面积也是可求，故而三角形AOB的面积可求，这也不失为一种高效的解题思路，值得借鉴并活用.解法5构造坐标轴直角三角形法如图5，过点A作AF⊥y轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，设直线AB交y轴于点H，交x轴于点G，因为直线AB的表达式为y=-43x+6，所以点G的坐标为（92，0），点H的坐标为（0,6）所以OG=92，OH=6，所以三角形OGH的面积为12OGOH=12×6×92=272.三角形AOH的面积为12AFOH=12×32×6=92.三角形BOG的面积为12BEOH=12×2×92=92,所以三角形AOB的面积为272-92-92=92.北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及面积计算5/6图5解后反思这是反比例函数图像问题中经常出现的一个重要的三角形，求这个三角形的面积往往是考题的一个重要知识选项，若能熟练掌握上述五种求解方法之一，再次遇到这样的问题，相信你一定会充满信心的完美解答.特别是第3中解法可以归纳成一个计算公式如下：设点A(1x，1y),点B（2x,2y），则三角形AOB的面积为：12（1y+2y）（2x-1x）.计算起来可以更简洁.实战演练（2017年葫芦岛）如图6，直线y=3x与双曲线y=（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．北师版数学九年级上册反比例函数中一个典型三角形及面积计算6/6图6