平稳随机过程及其遍历性-ppt课件

《随机信号分析》教学组11.3平稳随机过程及其遍历性平稳性：若一个函数，当，的特性不变，就称关于函数是平稳的。),,,(tzyxfxxx),,,(tzyxf),,,(tzyxfx对确定函数来说：特性不变指函数值不变。对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，且仅仅对时间变量t而言。分类严格平稳宽平稳（广义平稳）《随机信号分析》教学组2随机过程可分为平稳和非平稳两大类,严格地说,所有信号都是非平稳的,但是,平稳信号的分析要容易得多,而且在电子系统中,如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变,或变化极小,可以忽略,则此信号可以认为是平稳的.如接收机的噪声电压信号,刚开机时由于元器件上温度的变化,使得噪声电压在开始时有一段暂态过程,经过一段时间后,温度变化趋于稳定,这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。《随机信号分析》教学组3一平稳随机过程1严平稳随机过程(StrictlyStationaryProcess)(1)定义如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度不变，则称是严（格）平稳的随机过程或称为狭义平稳随机过程。),,,,,(),,,,,(1111nnXnnXttxxfttttxxf实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间平稳就行了。《随机信号分析》教学组4(2)特性一阶平稳(n=1)严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关),,,,,(),,,,,(1111nnXnnXttxxfttttxxf111111(,)(,)(,0)()XXXXfxttfxtfxfx时，对于一维概率密度有：11,ntt《随机信号分析》教学组522222[()]()[()]()[()]()()XXXXXXXEXtxfxdxmEXtxfxdxDXtxmfxdx随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的都与时间t无关《随机信号分析》教学组6),,,,,(),,,,,(1111nnXnnXttxxfttttxxf二阶平稳(n=2)严平稳随机过程的二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点无关。时，二维概率密度：12121212122112(,,,)(,,,)(,,0,)(,,)XXXXfxxttfxxttttfxxttfxx1212,,ntttt从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳《随机信号分析》教学组7121212(,,,)(,,)XXfxxttfxx都与时间无关1212122112121212(,)(,;)(,;)()XXXXRttxxfxxttdxdxxxfxxdxdxR1212122(,)(,)()()()()XXXXXXxKttRttmtmtRmK随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是平稳的。若，则21tt22(0)(0)XXXXKRm《随机信号分析》教学组8《随机信号分析》教学组9(3)严平稳随机过程的判断按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：1)若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。)]([tXEk2)若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0，X(t0)具有相同的统计特性。《随机信号分析》教学组10实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过程概率密度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只在相关理论范围内考虑平稳过程问题。相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上相当有效的描述了随机过程的重要特性。（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参数。（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。《随机信号分析》教学组112宽(广义)平稳随机过程(WeaklyStationaryProcess)XXmtm)()]([)(22tXEtX若随机过程X(t)满足1212(,)[()()]()XXRttEXtXtR则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严格平稳广义平稳一定不一定当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。《随机信号分析》教学组12为什么要研究宽平稳随机过程?随机过程可分为平稳和非平稳两大类,严格地说,所有信号都是非平稳的,但是,在自然界和实际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基础。物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。《随机信号分析》教学组13例随机相位信号0()cos()XtAt是否平稳?0200()[()][cos()]1cos()02XmtEXtEAtAtd解1212010220120122220120120220120(,)[()()][cos()cos()]1[cos()cos[()2]]2111cos()cos[()2]22211cos()cos22XRttEXtXtEAtAtAEttttAttAttdAttAX(t)均值为“0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。《随机信号分析》教学组14例设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t。其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。《随机信号分析》教学组15解()()()EXEY2112033()()()EXEY222221241223333()()()EXEY323321281223333()()()()EXYEYXEXEY0《随机信号分析》教学组16()[()][]cos[]sinZmtEZtEXtEYt0(,)[()()]{[cossin][cossin]}[]coscos[]sinsin[]cossin[]sincoscoscossinsincos()cosZRttEZtZtEXtYtXtYtEXttEYttEXYttEYXtttttttttt121211222212121212121212122222()ZR02Z(t)是广义平稳的。《随机信号分析》教学组17[()]{[cossin]}[cossincossincossin]cossinEZtEXtYtEXtYtXYttYXtttt33333322233332Z(t)不是严格平稳的。《随机信号分析》教学组18例设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？《随机信号分析》教学组19解[()][][]0EXtEtAtEA212121212(,)[()()][]XRttEXtXtttEAtt所以X(t)是非平稳的。《随机信号分析》教学组20二平稳随机过程自相关函数的性质数学期望和相关函数是随机过程的基本数字特征。对于平稳随机过程而言，数学期望是常数，经中心化后为零，所以基本的数字特征实际上就是相关函数。相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态)间关联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息的工具。要求：(1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳过程的自相关函数；(2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。《随机信号分析》教学组21性质10)]([)0(22XXtXER平均功率性质2)()(XXRR)()(XXKK偶函数证：同理()[()()][()()]()XXREXtXtEXuXuR()()XXKK《随机信号分析》教学组22性质3)()0(XXRR)()0(2XXXKK极值性证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即0]))()([(2tXtXE0)]()()(2)([22tXtXtXtXE对于平稳过程X(t)，性质1可知)0()]([)]([22XRtXEtXE代入前式，可得0)(2)0(2XXRR于是)()0(XXRR同理)()0(2XXXKK0当平稳过程的相关函数具有最大值。物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。《随机信号分析》教学组23性质4若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过程X(t)=X(t+T)，T为周期，则相关函数满足)()(TRR证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到)()]()([)]()([)(XXRtXtXETtXtXETR性质5若平稳过程含有一个周期分量，则自相关函数含有同一个周期分量。)(XR自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。《随机信号分析》教学组24例：设随机过程为)()cos()(0tNtAtX式中为常数，为上均匀分布的随机变量，为一般平稳过程，对于所有t而言，与统计独立。则易得出相关函数为0,A(0,2)()Nt()Nt)(cos2)(02NXRAR可见，相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。《随机信号分析》教学组25性质6若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，则满足2)()(limXXXmRR0)()(limXXKK物理含义：当增大时，与之间相关性会减弱，在的极限情况下，两者相互独立。()Xt()Xt《随机信号分析》教学组26性质7若平稳过程含有平均分量(均值)，则相关函数也含有固定分量,即2XmXm则2)()(XXXmKR)()0(2XXXRR若X(t)是非周期的，自相关性函数确定方差由协方差函数的定义，可得2)()])()()([()(XXXXXmRmtXmtXEK由此2)()(XXXmKR若X(t)是非周期，则有证：)()0()0(2XXXXRRK且在t=0时,可得2)(XXmR《随机信号分析》教学组27平稳随机过程必须满足对所有均成立。性质8－0)(deRjX自相关函数的傅里叶变换是非负的，限制了自相关函数曲线图形不能有任意形状，要求相关函数是连续的（平顶，垂直边均是非连续）即：不能出现平顶、垂直边或在幅度上的任何不连续。《随机信号分析》教学组28平稳过程相关函数的典型曲线)(XR2X)0(XR2Xm022(0)XXXRm《随机信号分析》教学组29《随机信号分析》教学组30平稳过程的相关系数和相关时间对于平稳随机过程X(t)的两个不同时刻t和的起伏值的关联程度，可以用自协方差表示。但是，还与和的强度有关，若或很小，即使两者的相关程度较强，则也不会太大，所以并不能准确表示关联程度的大小。为了消除起伏值强度对的影响，需要对协方差函数作归一化处理，引入相关系数。t()[(())(())]XXXKEXtmXtm()XK()XXtm()XXtm()XXtm()XXtm()XK()XK《随机信号分析》教学组31此值在[－1，1