正弦定理

正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。五、教学目标分析1、知识与技能：通过对一般三角形边角数量关系的探索，初步掌握正弦定理的内容，理解其证明方法；学会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。2、过程与方法：让学生从等边三角形、直角三角形中的边角关系出发，采取从特殊到一般以及合情推理的方法猜测并尝试证明正弦定理；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想方法；让学生在应用定理解三角形的过程中更全面深入地关注定理特征、理解定理本质。3、情感、态度与价值观：通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。六、教学重、难点分析1.教学重点：猜测并证明正弦定理，应用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。2.教学难点：正弦定理的发现并证明过程以及解三角形时解的个数的判断。七、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，以问题为导向，以学生自主探究与合作交流为前提，以“正弦定理的发现和证明”为目标，为学生提供试验、猜测、表达、尝试、交流、讨论问题等机会，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、解决问题的能力。本节课可分为四个环节：第一环节是设疑、试验、猜测、归纳过程；第二环节由猜想入手，比照直角三角形中边角关系的验证想法，通过可能出现的“作高法”、“等（面）积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理；第三环节利用正弦定理解斜三角形的两类基本问题；第四环节由学生自行总结课堂收获，充分享受数学探究带来的快乐！八、教学过程设计Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.asinA＝bsinB＝csinC那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课对于asinA＝bsinB＝csinC这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sinC＝sinB′＝c2R∴csinC＝2R同理可得asinA＝2R，bsinB＝2R∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sinθ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j，而j垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC→＋CB→＝AB→.而添加垂直于AC→的单位向量j是关键，为了产生j与AB→、AC→、CB→的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC→，则j与AB→的夹角为90°－A，j与CB→的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC→＋CB→＝AB→为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到：j·(AC→＋CB→)＝j·AB→由分配律可得：j·AC→＋j·CB→＝j·AB→∴｜j｜｜AC→｜cos90°＋｜j｜｜CB→｜cos(90°－C)＝｜j｜｜AB→｜cos(90°－A)∴asinC＝csinA∴asinA＝csinC另外，过点C作与CB→垂直的单位向量j，则j与AC→的夹角为90°＋C，j与AB→的夹角为90°＋B，可得csinC＝bsinB.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与AC→的夹角为90°－C，j与AB→的夹角为90°－B)∴asinA＝bsinB＝csinC.(2)△ABC为钝角三角形，不妨设A＞90°过点A作与AC→垂直的单位向量j，则j与AB→的夹角为A－90°，j与CB→的夹角为90°－C.由AC→＋CB→＝AB→得：j·AC→＋j·CB→＝j·AB→即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)∴asinC＝csinA∴asinA＝csinC另外，过点C作与CB→垂直的单位向量j，则j与AC→夹角为90°＋C，j与AB→夹角为90°＋B，同理可得bsinB＝csinC∴asinA＝bsinB＝csinC综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。(1)A为锐角(2)A为直角或钝角接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例1］在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求b(保留两个有效数字).分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，直接应用正弦定理可求出边a，若求边b，则需通过三角形内角和为180°，求出角B，再利用正弦定理求出边b.解：∵B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，bsinB＝csinC，∴b＝c·sinBsinC＝10·sin1050sin300≈19评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.［例2］在△ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).分析：此例题属于bsinA＜a＜b的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.解：∵sinB＝b·sinAa＝28·sin40020＝0.8999，∴B1＝64°，B2＝116°当B1＝64°时，C1＝180°－(B1＋A)＝180°－(64°＋40°)＝76°，∴c1＝a·sinC1sinA＝20·sin760sin400≈30.当B2＝116°时，C2＝180°－(B2＋A)＝180°－(116°＋40°)＝24°，∴c2＝a·sinC2sinA＝20·sin240sin400≈13.评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.［例3］在△ABC中，已知a＝60，b＝50，A＝38°，求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).分析：此例题属于a≥b这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.解：已知b＜a，所以B＜A，因此B也是锐角.∵sinB＝b·sinAa＝50·sin38060＝0.5131，∴B＝31°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°∴c＝a·sinCsinA＝60·sin1110sin380≈91.评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B所受限制而求出角B的两个解，进而求出边c两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC中(结果保留两个有效数字).(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°bsinB＝csinC∴b＝c·sinBsinC＝3·sin600sin750≈1.6(2)∵asinA＝bsinB∴a＝b·sinAsinB＝12·sin300sin1200≈6.9评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生