2019-2020学年山东省济南外国语学校高一3月月考数学试题(解析版)

第1页共15页2019-2020学年山东省济南外国语学校高一3月月考数学试题一、单选题1．已知5,3AB，1,3C，2CDAB，则点D的坐标是（）A．11,3B．9,3C．9,3D．4,0【答案】B【解析】设点D(x,y)，根据向量的坐标运算得到CD（x+1,y-3），2AB=（10，-6），根据向量相等的概念得到x=9,y=-3，进而得到结果.【详解】设点D(x,y)，所以CD（x+1,y-3），2AB=（10，-6），所以11036xy，解之得x=9,y=-3.所以点D的坐标为（9，-3）.故答案为：B【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算，解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。2．已知向量(1,3),(3,)abm，若向量,ab的夹角为6，则实数m（）A．23B．3C．0D．3【答案】B【解析】因为cos,,||ababab所以2233cos,623mm解得3m，故选B.【考点】平面向量的数量积、模与夹角.3．设ABC中BC边上的中线为AD，点O满足2AOOD，则OC（）A．1233ABACB．2133ABACC．1233ABACD．2133ABAC【答案】A第2页共15页【解析】作出图形，利用AB、AC表示AO，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OCACAO可得出结果.【详解】如下图所示：DQ为BC的中点，则1122ADABBDABBCABACAB1122ABAC，2AOOD，211333AOADABAC，11123333OCACAOACABACABAC，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.4．已知向量2,1ar，2,4br，4,2c，则下列结论正确的是（）A．//abrr，//acB．//abrr，acC．//abrr，//bcD．ab，//ac【答案】D【解析】由平面向量共线和垂直的坐标表示可得出结果.【详解】2,1arQ，2,4br，4,2c，则2ca，22140ab，20bcba，因此，//ac，ab，bc.故选：D.【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及共线向量和向量垂直的坐标表示，考查推理能力，属于第3页共15页基础题.5．设在ABC中,角,ABC，所对的边分别为,abc，,若coscossinbCcBaA,则ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】利用正弦定理可得2sinsinBCA，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin1,2AA，从而可得结果.【详解】因为coscossinbCcBaA，所以由正弦定理可得2sincossincossinBCCBA，22sinsinsinsinBCAAA，所以sin1,2AA，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6．已知非零向量a，b满足：1,1a，1b，abb，则向量a，b的夹角大小为（）A．6B．4C．3D．2【答案】B【解析】由abb，1,1ar，1b，求出ab，再由向量的夹角公式，即可求解.【详解】由abb，有20abb，则2cosabb，第4页共15页有212cos,0,242bab.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题.7．在ABC中，2AC,22BC,135ACB，过C作CDAB交AB于D，则CD()A．255B．2C．3D．5【答案】A【解析】先由余弦定理得到AB边的长度，再由等面积法可得到结果.【详解】根据余弦定理得到2222.22ACBCABACBC将2AC,22BC,代入等式得到AB=25,再由等面积法得到11225252222225CDCD故答案为A.【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.8．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为36a，则cbbc的最大值是（）A．8B．6C．32D．4【答案】D【解析】22bcbccbbc，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA2222bcabc，①第5页共15页而条件中的“高”容易联想到面积，131262aabcsinA，即a2＝23bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋3sinA)，∴bccb＝2(cosA＋3sinA)＝4sin(A＋6)，当A＝3时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、多选题9．设a、b、c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）A．00aB．abcabcrrrrrrC．0ababD．22bbabaa【答案】AB【解析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，00a，A选项错误；对于B选项，abcrrr表示与c共线的向量，abcrrr表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B选项错误；对于C选项，0abab，C选项正确；对于D选项，2222abababab，D选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.10．下列说法正确的有（）A．在ABC中，::sin:sin:sinabcABCB．在ABC中，若sin2sin2AB，则ab第6页共15页C．在ABC中，若sinsinAB，则AB，若AB，则sinsinAB都成立D．在ABC中，sinsinsinabcABC【答案】ACD【解析】设ABC的外接圆半径为R，利用正弦定理可判断A、D选项的正误；利用正弦定理与大边对大角定理可判断C选项的正误；利用正弦定理与余弦定理可判断B选项的正误.综合可得出结论.【详解】设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2sinsinsinabcRABC.对于A选项，::2sin:2sin:2sinsin:sin:sinabcRARBRCABC，A选项正确；对于D选项，2sin2sin2sinsinsinsinsinbcRBRCaRBCBCA，D选项正确；对于B选项，由二倍角公式得2sincos2sincosAABB，则2222222222bcaacbabbcac，即22222222abcabacb，整理得4422220abacbc，即222220ababc，则220ab或222abc，所以ab或2C，B选项错误；对于C选项，sinsinABabAB（大边对大角），C选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦定理的应用，解题时充分利用边角互化的思想求解较为简单，考查推理能力，属于基础题.11．设a、b是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若abab，则存在实数使得λab=B．若ab，则ababC．若abab，则a在b方向上的投影向量为arD．若存在实数使得λab=，则abab【答案】AB【解析】根据向量模的三角不等式找出abab和abab的等价条件，第7页共15页可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.【详解】当abab时，则a、b方向相反且ab，则存在负实数，使得λab=，A选项正确，D选项错误；若abab，则a、b方向相同，a在b方向上的投影向量为a，C选项错误；若ab，则以a、b为邻边的平行四边形为矩形，且ab和ab是这个矩形的两条对角线长，则abab，B选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12．（多选题）如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3coscos2sinaCcAbB，且3CAB．若点D是ABC外一点，1DC，3DA，下列说法中，正确的命题是（）A．ABC的内角3BB．ABC的内角3CC．四边形ABCD面积的最大值为5332D．四边形ABCD面积无最大值【答案】ABC【解析】先根据正弦定理化简条件得B，再结合3CAB得C，最后根据三角形面积公式表示四边形ABCD面积，利用余弦定理以及辅助角公式化为基本三角函数形式，根据三角函数性质求最值.【详解】23coscos2sin3sincossincos2sinaCcAbBACCABQ第8页共15页2233sin()2sin3sin2sinsin2ACBBBB2(0,)3333CABBBCAB，,因此A,B正确；四边形ABCD面积等于231sin42ABCACDSSACADDCADC2231(2cos)sin42ADDCADDCADCADDCADC315353(916cos)3sin3sin()342232ADCADCADC因此C正确，D错误，故选：ABC【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式、三角形面积公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.三、填空题13．在△ABC中,若2,23,30,abA则角B等于______.【答案】060或0120【解析】∵2,23,30abA∴由正弦定理sinsinabAB得：123sin32sin22bABa∵ba∴60B或120故答案为060或012014．已知5,(2,1)ab，且//ab，则向量a的坐标是____.【答案】(25,5)或(25,5)【解析】先设(,)axy，根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果.【详解】设(,)axy，第9页共15页因为||5,(2,1)ab，且//ab，所以222025xyxy，解得255xy或255xy，因此向量a的坐标是(25,5)或(25,5).故答案为(25,5)或(25,5)【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.15．ABC的内角A，B，C的的对边分别是a、b、c，若2