第三章向量组的线性关系与秩

联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院第三讲向量组的线性关系与秩联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院考试大纲要求（一）考试内容向量的概念；向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关性；向量组的极大无关组和秩；矩阵的秩。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院（二）考试要求1、理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性表示。了解向量组等价的概念。2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义，了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关性质及判别法。3、理解向量组的极大无关组和秩的概念，理解矩阵的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。会求矩阵的秩及向量组的极大无关组和秩。本章的理论基础线性表示线性相关性极大无关组和秩矩阵的秩4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院1、向量由n个数组成的有序数组称为一个n维向量，这些数为它的分量。向量可表示成12,,,naaa12naaa或作为向量，它们没有区别，但是作为矩阵它们是不同的！通常把它们分别称为行向量和列向量。一、基本概念联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院一个的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每一列是一个m维向量，称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵。mn111212122212nnnnnnaaaaaaaaa例如当矩阵的列向量为时，记为12,,,n12,,,nA矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等，零向量等等。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院2、线性运算和线性组合向量组的线性组合s,,,21设是一组n维向量，是一组数，则称12,,,scccssccc2211为的线性组合，它也是n维向量。s,,,21联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院二、线性表示设是一个n维向量组.12,,,s1.n维向量可用表示，即是的一个线性组合，也就是说存在数组使得12,,,s12,,,s12,,,sccc1122ssccc例如cba110020103001则123abc联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院又如cba110020103110看c,c0,则不能表示,c=0,则12ab或13abb联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院问题是:判断可否用线性表示?表示方式是否唯一？”这也就是问：向量方程12,,,s1122ssxxx是否有解？解是否唯一？设则此向量方程就是.12,,,sAAX反过来,判别“以为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A的列向量组线性表示?表示方式是否唯一？”的问题.A联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院如果向量组可以用线性表示,则矩阵可分解为矩阵和一个矩阵C的乘积。12,,,s12,,,t12,,,s12,,,t2.如果n维向量组中的每一个都可以用12,,,s12,,,s12,,,s12,,,s线性表示,就说向量组可以用线性表示.联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院例如1122233312,23,3则(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)330022101一般地C可以这样构造:它的第i个列向量就是对i12,,,s12,,,t的分解系数.称C为对12,,,s的一个表示矩阵.(C不是唯一的)记号:可以表示不可以表示联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院3．等价关系：如果与互相可表示s,,,21t,,,21ts,,,,,,2121就称它们等价，记作ts,,,,,,2121向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组12,,,s12,,,t12,,,r12,,,s12,,,t可以用线性表示,而可以用线性表示,则可以用12,,,r线性表示.等价关系也有传递性.联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院三、向量组的线性相关性1．意义和定义--从三个方面看线性相关性如果向量组中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示,就说线性相关.12,,,s12,,,s如果向量组中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示,就说线性无关.12,,,s12,,,s0011a0102a1003a如线性无关。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如123123,,,,,aaaabbbb112233,,bcabcabca线性相关,不妨设，即bca0011a0102a1003a1014a线性相关。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院2、定义设是n维向量组,如果存在不全为0的一组数使得s,,,21sccc,,,2102211ssccc则说线性相关,否则就说它们线性无关.12,,,s说明:①意义和定义是一致的.比如设不为0,则sc112121sssssscccccc②当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.③线性无关即要使得必须全为0.12,,,ssccc,,,2102211ssccc联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院02211ssccc3、“线性相关还是无关”就是向量方程s,,,21“有没有非零解”.如果令，则12,,,sA线性相关(无关)齐次方程组AX=0有非零解(无非零解(只有零解)).12,,,sn个n维向量线性相关12,,,n12,,,0nn个n维向量线性无关12,,,n12,,,0n联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院与线性相关性有关的性质：①线性相关至少有一个可以用其他向量线性表示。12,,,si③线性无关向量组的每个部分组都无关。②当向量的个数s大于维数n时，一定线性相关。12,,,s例如若无关，则一定无关。54321,,,,421,,④如果无关，而相关，则s,,,21,,,,21ss,,,21联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院⑤当时，表示方式唯一无关。（有唯一解）s,,1s1⑥如果可以用线性表示，并且ts,则线性相关。12,,,ts,,,2112,,,t推论如果两个线性无关的向量组互相等价，则它们包含的向量个数相等。12,,,0s表示方式不唯一（有无穷解）相关s112,,,0s联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院A.线性相关。C.线性相关。D.线性无关。例1．设线性无关，而线性相关，C是任一常数，则（）,,,321,,,321c,,,321B.线性无关。c,,,321c,,,321c,,,321D联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院例2（07）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是()(A)(B)(C)(D)123,,122331,,122331,,1223312,2,21223312,2,2A联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院四、向量组的极大无关组和秩联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院1．定义的一个部分组称为它的一个极大无关组，如果满足：s,,,21Ii）线性无关。ii）再扩大就相关。II就称(I)为的一个极大无关组.称(I)中所包含向量的个数为的秩。记作s,,,21s,,,2112,,,sr条件ii）可换为：任何都可用线性表示。也就是与等价。iIIs,,,21如果每个元素都是零向量，则规定其秩为0。s,,,21联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院由定义可以看出，如果，则12,,,srki）的每个含有多于k个向量的部分组相关。12,,,sii）的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组。12,,,s联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院秩有以下性质：①无关。s,,,2112,,,srs②12121,,,,,,,,,sssrr③11111,,,,,,,,,,,tsstsrr11,,,,tsrr④ts,,,,111111,,,,,ssttrrr向量组的秩的计算方法：阶梯形矩阵B行s,,,211,,srB的非零行数。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院阶梯形矩阵41020012510002300000①如果有零行，则都在下面。②各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。（或各行左边连续出现0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。）台角：各非零行第一个非0元素所在位置。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院简单阶梯形矩阵（最简形矩阵）：（1）台角位置的元素都为1；是特殊的阶梯形矩阵，特点为：（2）台角正上方的元素都为0。每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院0000023100015210020140000032000152100201419410034020213130120012022330001000122000000000000000231000213021081902101一个矩阵用行初等变换化得的阶梯形矩阵不是唯一的，化出的简单阶梯形矩阵是唯一的。联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院例3(03四)给定向量组(Ⅰ)a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和(Ⅱ)b1=(1,2,a+3)，b2=(2,1,a+6)，b3=(2,1,a+4)．当a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)等价?a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价?联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院例4（06）设均为n维列向量，A为矩阵，下列选项正确的是（）(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则线性无关.12,,,smn12,,,s12,,,s12,,,s12,,,s12,,,sAAA12,,,sAAA12,,,sAAA12,,,sAAAA联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院例5（05）已知，，，线性相关，并且，求。1,1,1,2aa,,1,2a,1,2,31,2,3,4a1a12a联合班—线性代数教案华南理工大学广州学院例6（10