数学建模——眼科病床-国赛一等-西南交大

12009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：梁涛日期：2009年9月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3基于排队系统的医院病床分配模拟问题摘要本文研究的是关于眼科医院病床分配的评价与优化问题，主要采用了层次分析法，//MMc排队论，单目标优化，区间估计等模型，使用计算机模拟等方法，对医院现有床位安排方案进行了评价，并通过优化模型，提出了改进方案。对于问题一，本文首先从实际情况出发，结合题目要求，在充分考虑院方和患者双方利益的前提下，确定了床位分配方案的评价指标。其次采用层次分析法确定各项因素权重。本文在建立层次结构时，在常规三个层次的基础上增加了子准则层，从而有效避免了单一层次分析法指标权重值偏离的现象。在此基础上，本文建立了//MMc排队模型，并通过计算机模拟的方法确定了各种评价指标的评价值，进而确定医院现行方案的综合评价指数仅为0.68。通过对所有评价指标进行模拟分析，本文发现平均入院等待时间为11.9天，并依次确定了入院等待时间过长是制约该方案优越性的主要问题，并提出改进方案。对于问题二，本文以方案综合评价指数最大为目标函数。首先在第一问的基础上，通过分析合理确定了星期k第i种疾病的优先等级ikF，引入函数f，表示各种疾病优先等级ikF到综合评价指数D的映射，即()ikfFD=，并以其为目标函数，确定了两种决策方式，并分别通过计算机模拟，确定了其最优解，在同问题一中方案对比，选择最优方案。将入院等待时间缩短到了8.2天。综合评价指数提高至0.75，较之原有方案改进明显。问题三，首先对不同类型疾病入院等待时间进行了统计分析，采用单个总体的区间估计，确定了其置信度在99%的置信区间，在已知病人就诊时间情况下，很容易得出其入住时间区间。再利用matlab仿真计算每种疾病的平均入院等待时间，发现所有仿真结果全部落入置信区间，可见模型精度较高。问题四，在问题二的模型上，进行修改，通过调整各种病的优先等级，使得函数满足了周末不安排手术的题目条件。再利用模拟方法，对床位安排情况进行仿真。问题五，由于各类病人所占病床数固定，本文将整个病床安排可看成5个各自独立的//iMMc多服务台的排队模型，可由公式直接得到各类病人的系统逗留时间。以各类病人占用病床的比例为决策变量，以平均逗留时间最短为目标函数，建立单目标优化模型。本文最后在模型推广中，建立了静态优化模型，提出了通过改变医院设施以达到病床合理分配的合理模型。本文采用模型合理，方法得当，提出的优先级策略不仅化简了模型求解的难度，而且保证了模型精度。尤其是在问题一中建立子准则层，问题二和问题四中提出的优先级策略和问题五中，利用边际分析法化简排队模型，都充分表现了本文模型和算法的合理性。本文采用excel进行数据处理，C，matlab混合编程进行排队系统的仿真，真实地模拟了实际的患者排队过程和病床分配策略，有较大的实用价值。关键词：模拟排队论层次分析法优化建模眼科病床4一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的5手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、模型假设1、患者到医院就诊相互独立，到达时间的间隔分布为Poisson分布，患者流是Possion流。2、该医院眼科手术分为四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼、外伤。3、病床安排时不考虑手术条件的限制。4、考虑医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症出外）不安排在同一天做。5、该院每周一、三做白内障手术。如果做双眼白内障是周一先做一只，周三再做另一只。6、眼科住院部共有病床79张。7、外伤疾病属于急症，病床有空时立即安排住院。三、符号说明与名称解释3.1符号说明外伤入院人数概率分布图00.10.20.30.40.50.6123外伤入院人数概率分布图：患者的平均到达率单眼白内障入院概率分布图00.050.10.150.20.250.30.350.40.4512345单眼白内障入院概率分布图：服务器台数，即病床数目双眼白内障入院人数概率分布图00.050.10.150.20.250.30.35123456双眼白内障入院人数概率分布图：每个病床的平均服务率青光眼入院人数概率分布函数00.10.20.30.40.50.60.7123456青光眼入院人数概率分布函数：医院系统的服务强度视网膜疾病入院概率分布图00.050.10.150.20.250.30.350.412345678视网膜疾病入院概率分布图：计数周期内的患者到达的最大人数n：确定时间段内患者到达的人数门诊等待时间概率分布图00.050.10.150.20.250.30.350.4147101316门诊等待时间概率分布图：患者的平均逗留时间sL：队长qL：队列长nP：医院系统在n状态的概率i：眼病编号，1,2,3,4,5i=分别表示急症、单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病。j：床位编号6D：综合评价指数()()iniPc：C个服务台任意时刻系统中有n个i类病患者的概率ijkx：星期k第i床分配给第j种疾病3.2名词解释（1）急症等待时间：急症病人从入院到进行手术的时间。（2）入院等待时间：病人从门诊到入院时间。（3）术前等待时间：病人从入院到第一次手术时间。（4）服务时间：患者从入院到出院时间。四、问题分析4.1问题一由题意可知，问题一是评价问题，首先需确定评价因素，既要充分考虑患者利益，主要是患者的不必要等待时间应尽量少，同时也需考虑院方的经济效益，主要是病床的使用率应尽可能高。因此本文确定以下几种因素为评价指标：（1）病床使用率，（2）急症等待时间，（3）入院等待时间，（4）术前等待时间。这4种因素在评价体系中所占份量是不同的，同时任何一种因素在评价系统中都不能是绝对优势，需要各项指标综合的优越。由上述分析，首先需对各项因素进行量化，本文采取如下的方式量化各项指标：病床使用率：根据附表中的数据可知，医院处于高负荷运作状态，病床紧张，故可认为病床使用率为100%。对于其余三项指标，本文采用比值法，用各项等待时间与总逗留时间（包括等待入院及住院时间）做比，即：1=−参评指标占用时指标评价值患者平均逗留时间将评价指标数值化后，只需再对各项因素赋权值，即可得到综合评价指标。由于问题涉及因素较多，且情况较为复杂，为科学分配权值，本文采用层次分析法确定权值。从而确立合理的评价指标体系。并可通过该评价指标体系对该住院部当前的情况作出评价。4.2问题二在住院部当前情况下，由于对不同疾病、不同时间入院的优先等级的不同选择，会决定住院部的不同病床安排，故将一周中每日不同疾病的优先等级作为决策变量，建立一个优化模型，提出优化分配方案。根据题目条件，不同疾病在不同时间入院的优先等级不同，即不同时间，不同类型的疾病对床位的占用权存在优先级问题。因此，在提出床位分配方案之前，首先需要对各种疾病目前情况下每天的优先等级进行排序。优先等级主要考虑到以下几个方面：1、急症优先等级：在任何时候急诊的入院等级高于其他任何疾病。2、双眼白内障优先等级：由题意，双眼白内障在周一接受第一次手术，周三第二次手术，又术前准备时间为1、2天，因此其在周日或周六这两天内优先等级仅次于急症。其余时间优先等级仅高于单眼白内障。3、单眼白内障优先等级：由题意，单眼白内障手术在周一或周三，术前准备时间为1、2天，则在周六或周日，优先等级次于急症和双眼白内障，高于其7他疾病。在周一或周二，优先级别仅次于急症。其余时间优先等级最低。4、其他眼病优先等级：由题意，取其他眼病术前准备时间均为2、3天，又因为其他眼病不能和白内障处于同一天进行，故其在周六和周日优先等级最低，在周一、周二优先等级低于单眼白内障，其余时间高于白内障。表1：各类病人优先等级表优先等级周一周二周三周四周五周六周日4急症急症急症急症急症急症急症3单眼白内障单眼白内障其他其他其他双眼白内障双眼白内障2其他其他双眼白内障双眼白内障双眼白内障单眼白内障单眼白内障1双眼白内障双眼白内障单眼白内障单眼白内障单眼白内障其他其他本问优化建模的目标是使得问题一中的综合评价指标值最大，显然综合评价指标值和分配方案存在一一对应关系，而各类病人入院的优先等级决定了分配方案，即可通过函数f表示各类疾病优先等级到综合评价指标的映射关系。由于函数f没有具体表现形式，故无法用数学方法求解，只能采用计算机模拟的方式，求解数值解。4.3问题三问题三要求根据数据的统计情况估算病人的入住时间区间。由于题目已知病人前来就诊时间，只要知道入院等待时间的置信区间，便可知道入住时间的置信区间。又，根据概率与数理统计知识，要求入院等待时间的置信区间，首先要知道入住时间服从何种分布，再根据其分布，利用区间估计确定置信区间。首先对附录中的入院等待时间进行统计分析，得出