高职高等数学-第九章-多元函数微分法及其应用第五节-偏导数的应用

第五节偏导数的应用ApplicationofPartialDerivative教学目的:会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面在某点的切平面方程和法线方程;理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值.课题:偏导数的几何应用;多元函数极值;条件极值.教学重点:二元函数的极值与多元函数的条件极值教学难点:二元函数的极值教学方法:精讲:多元函数极值及拉格朗日乘数法;多练:二元函数求极值教学内容:一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线L的参数方程为()()()xxtyytzzt假定(),(),()xtytzt均可导,'''000(),(),()xtytzt不同时为零,曲线上对应于0tt及0ttt的点分别为0000(,,)Mxyz和000(,,)Mxxyyzz.割线0MM的方程为000xxyyzzxyz当M沿着曲线L趋于0M时,割线的极限位置0MT是L在0M处的切线.上式分母同除以t得000xxyyzzxyzttt当0t(即0MM)时,对上式取极限,即得曲线在0M点的切线方程000'''000()()()xxyyzzxtytzt向量'''000{(),(),()}xtytztT是切线0MT的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点0M与切线垂直的平面称为曲线在0M点的法平面.它是通过点0000(,,)Mxyz,以切线向量T为法向量的平面.因此,法平面方程为'''000000()()()()()()0xtxxytyyztzz【例1】求螺旋线cos,sin,xtytzt在点(1,0,0)的切线及法平面方程.解点(1,0,0)对应的参数0t.因为'''()sin,()cos,()1xttyttzt,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}xyzT,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为100011xyz在点(1,0,0)处的法平面方程为0(1)1(0)1(0)0xyz即0yz【例2】求曲线sin,,2xyxz上点0,2处的切线和法平面方程.解把x看作参数,此时曲线方程为sin2xxyxxz'''11,cos1,2xxxxxyxz在点,0,2处的切线方程为021112zxy法平面方程为1()(0)()022xyz即4425xyz2.曲面的切平面与法线设曲面S的方程为0000(,,)0,(,,)FxyzMxyz是曲面上的一点,假定函数(,,)Fxyz的偏导数在该点连续且不同时为零,设L是曲面S上过点0M的任意一条曲线,L的方程为(),(),()xxtyytzzt,与点0M相对应的参数为0t,则曲线L在0M处的切线向量为'''000{(),(),()}xtytztT.因L在S上,故有[(),(),()]0Fxtytzt此恒等式左端为复合函数,在0tt时的全导数为0''''''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0ttxyzdFFxyzxtFxyzytFxyzztdt记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}xyzFxyzFxyzFxyzn,则0Tn,即n与T互相垂直.由于曲线L是曲面上过0M的任意一条曲线,所以在曲面S上所有过0M点的曲线的切线都与同一向量n垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M处的切平面.向量n是切平面的法向量,称为曲面在0M处的法向量.切平面方程为'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyzxxFxyzyyFxyzzz过点0M与切平面垂直的直线,称为曲面S在点0M处的法线,其方程为000'''000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzFxyzFxyzFxyz若曲面方程由(,)zfxy给出,则可令(,,)(,,)0Fxyzfxyzz于是''''',,1xxyyzFfFfF这时曲面在0000(,,)Mxyz处的切平面方程为''0000000(,)()(,)()()0xyfxyxxfxyyyzz法线方程为000''0000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy【例3】求椭球面222326xyz在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.解设222(,,)326Fxyzxyz''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4xyzxyzFxyzxFxyzyFxyzzFFF故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为2(1)6(1)4(1)0xyz即3260xyz法线方程为111132xyz【例4】求旋转抛物面22zxy在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程.解由22zxy得''(1,1)(1,1)(1,1)22,(1,1)22xyfxfy切平面方程为22(1)2(1)zxy即222xyz法线方程为112221xyz二、多元函数极值1.二元函数的极值【例5】曲面22zxy在点(0,0)有极小值0z.【例6】曲面2244zxy在点(0,0)有极大值4z.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)xy都有00(,)(,)fxyfxy(或00(,)(,)fxyfxy)则称函数(,)zfxy在点00(,)xy有极大值(或极小值)00(,)fxy.而称点00(,)xy为函数(,)zfxy的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法(1)一阶偏检验定理1(必要条件)设函数(,)zfxy在点00(,)xy处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有''0000(,)0,(,)0xyfxyfxy.证明不妨设(,)zfxy在点00(,)xy处有极大值,根据极值定义,对00(,)xy的某一邻域内的任一点(,)xy,有00(,)(,)fxyfxy在点00(,)xy的邻域内,也有000(,)(,)fxyfxy,这表明一元函数0(,)fxy在0xx处取得极大值.因此,有'00(,)0xfxy同理可证'00(,)0yfxy与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0xyfxyfxy的点(,)xy称为函数(,)zfxy的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点.(2)二阶偏检验定理2(充分条件)设函数(,)zfxy在定义域内的一点00(,)xy处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0xyfxyfxy.记''''''000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC,则(1)当20BAC且0A时,函数(,)fxy在点00(,)xy处有极小值00(,)fxy;当20BAC且0A时,函数(,)fxy在点00(,)xy处有极大值00(,)fxy;(2)当20BAC时,函数(,)fxy在点00(,)xy处无极值;(3)当20BAC时,函数(,)fxy在点00(,)xy处可能有极值,也可能无极值.综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)zfxy,其极值求法如下:(1)先求出偏导数'''''',,,xyxxyyffff;(2)解方程组''(,)0(,)0xyfxyfxy,求出定义域内全部驻点;(3)求出驻点处的二阶偏导数值:'''''',,xxxyyyAfBfCf,确定2BAC的符号,并判断()fx是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】求函数33(,)3fxyxyxy的极值.解先求偏导数'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6xyxxxyyyfxyxyfxyyxfxffy解方程组22330330xyyx,求得驻点为(0,0),(1,1).在驻点(0,0)处,''''''(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xxyyyyAfBfCf,2BAC90,于是(0,0)不是函数的极值点.在驻点(1,1)处,''''''2(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xxxyyyAfBfCfBAC0,且60A,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数(,)zfxy在有界闭区域D上连续,则函数在D上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域D的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D上的最大值,最小值便是函数在闭区域D上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值.【例8】求函数22(,)4fxyxy在22:1Dxy上的最大值.解在D内(221xy),由''22220,044xyxyffxyxy解得驻点为(0,0),(0,0)2f.在D的边界上(221xy)22221(,)432xyfxyxy故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f.【例9】要做一容积为a的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?解所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为,,xyz，表面积为S，则有xyza22Sxyxzyz消去z，得表面积函数22aaSxyyx其定义域为0,0xy由'2'22020xyaSyxaSxy，求得驻点为33(2,2)aa.由于D为开区域,且该问题必有最小值存在,于是33(2,2)aa必为S的最小值点,此时3/4azaxy,即长方体长、宽、高分别为332,2aa,3/4a时,容器所需铁皮最少,其表面积为32333(/2,/2,/4)34Saaaa.【例10】某公司每周生产x单位A产品和y单位B产品,其成本为22(,)221000Cxyxxyy产品,AB的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润.解依题意,公司的收益函数为(,)200300Rxyxy因此,公司的利润函数为22(,)(,)(,)200300221000PxyRxyCxyxyxxyy令''(,)200220(,)300240xyPxyxyPxyxy,得驻点(50,50).利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''(,)2,(,)2,(,)4xxxyyyPxyPxyPxy，显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为22,2,4,40,20ABCBACA。由此可见，当产品,AB的周产量均为50个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为(50,50)11500P（元）三、条件极值如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值.条件极值问题的解法有两种,一是将条件极值转化为无条件极值,如例9就是求22Sxyxzyz在自变量满足约束条件xy