线性代数的几何含义

线性代数的软件实践线性代数概念的几何含义及MATLAB绘图演示西安电子科技大学杨威2010.7一、线性方程组解的几何含义二、向量及向量运算的几何含义四、行列式的几何含义五、线性变换的几何含义(特征向量)六、二次型的几何含义基本内容三、向量组线性相关性的几何含义一、进一步理解线性代数抽象概念的几何含义二、掌握MATLAB软件实现线性代数基本运算的命令基本目标三、灵活应用MATLAB软件的绘图功能演示线性代数概念的几何含义一、线性方程组解的几何含义1、二元方程组例1求下列非齐次线性方程组的解，并用MATLAB绘出解的情况。432522121xxxx693232121xxxx662532121xxxx532232212121xxxxxx解：用MATLAB解线性方程组Ax=b的方法有：用MATLAB绘制直线的简单方法为：（1）求逆法（A为方阵）：x=inv(A)*b，或x=A^-1*b（2）初等行变换法：rref([A,b])（3）左除法：x=A\bezplot(‘……')单引号内为直线方程在MATLAB命令窗口中运行程序g01.m，可以得到图形：一、线性方程组解的几何含义2、三元方程组例2求下列线性方程组的解，并用MATLAB绘出解的情况。35.0223315321321321xxxxxxxxx030208321321321xxxxxxxxx254124575321321321xxxxxxxxx151078533232xxxxx（1）（2）（3）（4）解：用MATLAB的rref命令可以解得：用MATLAB绘制平面的简单方法为：方程组（1）有唯一解方程组（2）有无穷组解方程组（3）和（4）无解ezmesh(‘……’)单引号内为平面方程在MATLAB命令窗口中运行程序g02.m，可以得到图形：一、线性方程组解的几何含义3、用MATLAB解矛盾方程的近似解例3下表给出平面坐标系中5个点的坐标，求过这5个点的圆心坐标。并用MATLAB绘出该圆。12345x-1.10.64.10.65.0y1.24.1-0.8-1.01.2解：设圆心坐标为(x，y)，根据圆心到已知5点的距离相等，列方程：2222112,,5iixxyyxxyyi进行化简，可以得到以下线性方程组：22222121221122223131331122224141441122225151551122222222xxxyyyxyxyxxxyyyxyxyxxxyyyxyxyxxxyyyxyxy在MATLAB命令窗口中运行程序g03.m，可以得到图形：二、向量及向量运算的几何含义1、向量的几何含义二维（三维）向量可以理解为平面坐标系（空间坐标系）中一个有方向的线段，其起点在坐标原点。如下图所示。xyu=(2,1)T121u=(1,2,3)Tyz31x2二、向量及向量运算的几何含义2、向量加法的平行四边形法则，如图所示xyuvOu+v3、负向量与向量减法：u-v=u+(-v)xyuvOu-v-v二、向量及向量运算的几何含义4、向量的数乘uyzx2u设u=(1,2,3)T,那么2u=(2,4,6)T,如图所示,可知2u与u共线，它们的长度是2倍关系。二、向量及向量运算的几何含义5、向量的线性表示举例例4已知向量128,,211uvw，请用向量u和v来线性表示向量w，并用MATLAB绘制出线性表示情况。解：求解方程组wvxux21，解得：122,3xx在MATLAB命令窗口中运行程序g04.m，可以得到图形：三、向量组线性相关性的几何含义1、若两个向量的夹角不为零（不共线），则这两个向量线性无关2、若两个向量的夹角为零（共线），则这两个向量线性相关3、若三个向量不共面，则这三个向量线性无关4、若三个向量共面，则这三个向量线性相关三、向量组线性相关性的几何含义5、三个3维向量线性相关性的判断例5分析向量组1232,0,1373uvw的线性相关性，并用MATLAB绘制其图形。解：设A=(u,v,w)，计算A的行列式|A|，可以判断其线性相关性。在MATLAB命令窗口中运行程序g05.m，可以得到图形：四、行列式的几何含义1、行列式的几何含义设u、v为二维列向量，以它们为相邻边构成的平行四边形的面积为矩阵A=(u,v)的行列式|A|的绝对值。xyuv设u、v，w为三维列向量，以它们为相邻棱构成的平行六面体的体积为矩阵A=(u,v,w)的行列式|A|的绝对值。uvwO四、行列式的几何含义2、行列式几何含义的应用举例例6（1）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为：(1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积；（2）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积。（3）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。解：(1)如图所示，三角形ABC的面积就等于向量AB和向量AC所构成平行四边形面积的一半。其中：ABOBOAACOCOAxyABCO解：(2)如图所示，凸九边形面积是由9-2=7个三角形面积组成。在MATLAB命令窗口运行程序g06.m，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：五、线性变换的几何含义1、线性变换几何含义举例例7已知向量。请分析经过线性变换21xiiyAx后，向量与向量的几何关系。其中分别为：iyxiA12310100.50,,,010102AAA4cossin,sincos2A在MATLAB命令窗口运行程序g07.m，可以得到图形：五、线性变换的几何含义2、特征向量几何含义的举例例8已知矩阵MATLAB分析特征向量的几何含义。123131212,,,251524AAA42132A，求它们的特征值和特征向量，并用解：用MATLAB求矩阵特征值和特征向量的方法为：用MATLAB演示矩阵A的特征向量几何含义的命令为：（1）r=eig(A),列向量r为矩阵A的特征值（2）[V,D]=eig(A)，对角矩阵D的对角线元素为矩阵A的特征值，矩阵V的列向量为矩阵A的特征向量。eigshow(A)在MATLAB命令窗口运行程序g08.m，可以分别得到图形：五、线性变换的几何含义3、线性变换应用举例（刚体的平面运动）例9用下列数据表示一个“A”形状的刚体。利用线性变换，对该刚体进行以下平面运动。（1）向上移动15，向左移动30；（2）先逆时针转动90°,然后向上移动30，向右移动20；（3）先向上移动30，向右移动20,然后逆时针转动90°。x04610853.56.16.53.220y014140011664.54.500解：用3×n的矩阵X来表示刚体图形，其中第3行全为1。设平移矩阵为：，平移变换为：。04610853.56.16.53.220014140011664.54.500111111111111X121001001cMccossin0sincos0001ttRtt转动矩阵为：，转动变换为：。1YMX2YRX在MATLAB命令窗口运行程序g09.m，可以得到图形：六、二次型的几何含义1、利用正交变换化二次型为标准形的几何含义。例10用正交变换，把下列二次型化为标准形，并讨论变换前后所对应的二次曲线及。12,fxxc12,fyyc221211221,625fxxxxxx221211222,342fxxxxxx解：用MATLAB命令eig可以算出二次型矩阵的特征值分别为：4.3820，6.6180和3.7016，-2.7016。在MATLAB命令窗口运行程序g10.m，可以得到图形：六、二次型的几何含义2、二次型正定、负定的几何含义。例11分析下列二次型的正定性，并画出对应的二次曲面。12,ffxx221211221,625fxxxxxx221211222,342fxxxxxx221211223,23fxxxxxx21214,3fxxx在MATLAB命令窗口运行程序g11.m，可以得到图形：谢谢！