导数大题

试卷第1页，总39页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2016-2017学年度必修一练习题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明试卷第2页，总39页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、解答题（题型注释）1．已知函数2()()exfxxa，aR．（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若在区间()1,2上存在不相等的实数,mn,使()()fmfn=成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数()fx有两个不同的极值点1x，2x，求证：212()()4efxfx.【答案】（Ⅰ）函数fx的单调增区间为,2，0,，单调减区间为2,0；（Ⅱ）83a；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）将0a代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数)()(2axexfx在)2,1(上不为单调函数的a的取值范围，通过讨论x的范围，得到函数的单调性，进而求出a的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论.试题解析：（Ⅰ）当0a时，2xfxxe，22xfxexx．由220xexx，解得0x，2x.当,2x时，fx＞0，f(x)单调递增；当2,0x时，fx＜0，f(x)单调递减；当0,x时，fx＞0，f(x)单调递增．所以函数fx的单调增区间为,2，0,，单调减区间为2,0（Ⅱ）依题意即求使函数2xfxexa在1,2上不为单调函数的a的取值范围.22xfxexxa.设22gxxxa，则13ga，28ga.因为函数gx在1,2上为增函数，当130280gaga，即当38a时，函数gx在1,2上有且只有一个零点，设为0x.当01,xx时，0gx，即0fx，fx为减函数；试卷第3页，总39页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………当0,2xx时，0gx，即0fx，fx为增函数，满足在1,2上不为单调函数.当3a时，10g，20g，所以在1,2上0gx成立（因gx在1,2上为增函数），所以在1,2上0fx成立，即fx在1,2上为增函数，不合题意.同理8a时，可判断fx在1,2上为减函数，不合题意.综上38a(Ⅲ)22xfxexxa．因为函数fx有两个不同的极值点，即fx有两个不同的零点，即方程220xxa的判别式440a，解得1a.由220xxa，解得111xa，211xa．此时122xx，12xxa.随着x变化时，fx和fx的变化情况如下：x1,x1x12,xx2x2,xfx＋0－0＋fx↗极大值↘极小值↗所以1x是函数fx的极大值点，2x是函数fx的极小值点.所以1fx为极大值，2fx为极小值．所以12221212xxfxfxexaexa12222221212xxexxaxxa1222221212122xxexxaxxxxa22242eaaaa24ae因为1a，所以2244aee．所以212()()4efxfx考点：1.利用导数研究函数的极值；2.分类讨论；3.利用导数研究函数的单调性.试卷第4页，总39页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【方法点睛】本题主要考查的是导数的运用，利用导数研究函数的极值,分类讨论,利用导数研究函数的单调性和分类讨论思想方法，属于难题，解决此类问题最主要的思想是先求出导函数，然后再对导函数的零点进行分类讨论求解，根据参数的范围，求出函数的极值，再通过对比得出结论，因此正确求出导函数并对导函数进行合理的处理是解决此类问题的关键.2．已知函数xxaxxfln)(，aR.（Ⅰ）若()fx在1x处取得极值，求a的值；（Ⅱ）若)(xf在区间)2,1(上单调递增,求a的取值范围；（Ⅲ）讨论函数xxfxg)()(的零点个数.【答案】（Ⅰ）2a；（Ⅱ）2a；（Ⅲ）当1a时，函数gx无零点，当1a或0a时，函数gx有一个零点，当01a时，函数gx有两个零点.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得0)1('f，即可解得a，注意检验；（Ⅱ）由条件可得，0)('xf在区间)2,1(上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到a的范围；（Ⅲ）令0)(xg，求出导数，求出单调区间和最值，即可得到零点的个数.试题解析：（Ⅰ）因为22211axxafxxxx，由已知fx在1x处取得极值，所以10f.解得2a，经检验2a时，fx在1x处取得极小值.所以2a.…3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，22211axxafxxxx，0x.因为fx在区间1,2上单调递增，所以0fx在区间1,2上恒成立.即2axx在区间1,2上恒成立.所以2a.（III）因为gxfxx，所以211agxxxx，0x.令0gx得32axxx，令32hxxxx，0x.2321311hxxxxx.当0,1x时，0hx，hx在0,1上单调递增，试卷第5页，总39页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1,x时，0hx，hx在1,上单调递减.所以max11hxh.综上：当1a时，函数gx无零点，当1a或0a时，函数gx有一个零点，当01a时，函数gx有两个零点.考点：1.函数零点问题；2.分类讨论；3.利用导数求极值.【方法点睛】本题主要考查的是导数的运用，利用导数求函数的单调区间和极值，最值，同时考查函数的单调性的运用和函数的零点的个数，运用参数分离和分类讨论思想方法，属于中档题，解决此类问题最主要的思想是先求出导函数，然后再对导函数的零点进行讨论求解，有时需要根据题目的特点参数分离进行求解，运用参数分离和分类讨论思想方法是解决此类题目的关键.3．已知函数21()(1)ln2fxaxaxx，其中0a.（I）讨论函数()fx的单调性；（II）若1a，证明：对任意12,(1,)xx12()xx，总有122212|()()|1||2fxfxaxax.【答案】（I）详见解析（II）详见解析【解析】试题分析：（I）先求函数导数1(1)(1)'()(1)axxfxaxaxx，再求导函数零点1xa或1x，根据两个零点大小分三种情况讨论：若01a，()fx在(0,1)，1(,)a上单调递增，在1(1,)a上单调递减.若1a时，则()fx在(0,)上单调递增.若1a时，则()fx在1(0,)a，(1,)上单调递增，在1(,1)a上单调递减.（II）同（1）可得：当1a时，()fx在(1,)上单调递增，因此将所证不等式变量分离得22112211()()22fxaxfxax121xx（），构造函数21()()ln()(1)2hxfxaxxaxx，只需利用导数证明函数单调递减试题解析：解：（I）∵(0,)x，1(1)(1)'()(1)axxfxaxaxx，试卷第6页，总39页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………令'()0fx，得1xa或1x①若01a，则(0,1)x时，'()0fx；1(1,)xa时，'()0fx；1(,)xa时，'()0fx，故函数()fx在(0,1)，1(,)a上单调递增，在1(1,)a上单调递减②若1a时，则()fx在(0,)上单调递增③若1a时，则()fx在1(0,)a，(1,)上单调递增，在1(,1)a上单调递减（II）由（I）可知，当1a时，()fx在(1,)上单调递增，不妨设121xx，则有12()()fxfx，2212axax，于是要证122212|()()|1||2fxfxaxax，即证22121211()()22fxfxaxax，即证22112211()()22fxaxfxax，令21()()ln()(1)2hxfxaxxaxx，∵11(1)'()(1)axhxaxx，∵(1)2ax，1(1)0ax，∴()hx在(1,)上单调递减，即有12()()hxhx.故122212|()()|1||2fxfxaxax.考点：利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式4．已知函数221lnfxxmxmx.（1）当1m时,求曲线yfx的极值;试卷第7页，总39页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）求函数fx的单调区间;（3）若对任意2,3m及1,3x时,恒有1mtfx成立,求实数t的取值范围.【答案】（1）极小值为13ln224f.（2）详见解析（3）73t【解析】试题分析：（1）先求函数导数