第四章-随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征简介随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的统计规律.但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对于某些问题来说，只需知道它的某些特征。将刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。包括：期望、方差、协方差、相关系数主要内容§4.1随机变量的期望§4.2方差§4.3协方差与相关系数一、数学期望的概念二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望一、数学期望的概念设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例1射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数k命中次数频率knnnk解平均射中环数射击次数射中靶的总环数903052041031521312090305902049010390152901319020.37.350kknnk设射手命中的环数为随机变量Y.50kknnk平均射中环数频率随机波动随机波动50kknnkn50kkpk随机波动稳定值“平均射中环数”的稳定值?“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1.离散型随机变量的数学期望定义.)().(,,.,2,1,}{111kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即记为的数学期望为随机变量则称级数绝对收敛若级数的分布律为设离散型随机变量射击问题“平均射中环数”应为射手命中的环数随机变量Y的数学期望.543210)(543210ppppppYE关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值（算术平均值）不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.xO随机变量X的算术平均值为,5.1221假设.98.198.0202.01)(XE它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.12X21020.980.p为他们射击的分布律分别乙两个射手、甲,试问哪个射手技术较好?例4-2谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,21XX数分别为设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好.甲射手击中环数概率10983.01.06.0乙射手击中环数概率10982.05.03.0解：例4-4已知随机变量X的所有可能取值为1和x，且P{X=1}=0.4，E(X)=0.2，求x。E(X)=P{X=1}1+P{X=x}x=0.20.41+0.6x=0.2x=-1/3例发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则Xp0101001000500010000510151025101051010051010000p0550102500010110000)(pXE),(5.0元每张彩票平均可赚),(2.13.05.02元每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为).(1200002.1100000元练习如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，则),(17.023.08)(万元XE存入银行的利息:),(5.0510万元%故应选择投资.Xp823.07.01.两点分布qpXE01)(Xp01pp1已知随机变量X的分布律为则有pp几种离散型随机变量的期望2.二项分布{}(1),(0,1,2,,),kknknPXkCppkn.10p则有}{)(0kXPkXEnk0(1)nkknknkkCpp设随机变量X服从参数为n,p二项分布，即X~B(n,p)，其分布律为knknkppknkkn)1()!(!!0)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp1)]1([nppnp.np)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnpnp例4-3设随机变量X~B(5,p)，已知E(X)=1.6，求参数p。解：由于E(X)=np所以5p=1.6故p=1.6/5=0.323.泊松分布.0,,2,1,0,e!}{kkkXPk则有0e!)(kkkkXE11e(1)!kkkee.~P(),X设且分布律为例已知随机变量X~P()，且P{X=1}=P{X=2}，求E(X)。解()2EX得由于{1}{2}PXPX21!2!ee则2所以:),(,规定以年计记使用寿命为付款的方式的销售采用先使用后某商店对某种家用电器X例商店的销售策略.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款XXXX..0,0,0,e101)(,10的数学期望器收费试求该商店一台家用电概率密度为服从指数分布　　设寿命YxxxfXx解xXPxde101}1{10101.0e1,0952.0xXPxde101}21{10212.01.0ee,0861.0xXPxde101}32{1032,0779.0ee3.02.0xXPxde101}3{103.7408.0e3.0的分布律为因而一台收费YYkp30002500200015000952.07408.00861.00779.0,15.2732)(YE得.15.2732元费即平均一台家用电器收2.连续型随机变量数学期望的定义.d)()(.)(,d)(,d)(),(xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即记为的数学期望变量的值为随机则称积分绝对收敛若积分的概率密度为设连续型随机变量例4-7设随机变量的概率密度为2,01,()0,.xxfx其他求()EXX解()EX()xfxdx1202xdx31203x23例4-8设随机变量的概率密度为222cos,,()0,.xxfx其他求()EXX解()EX()xfxdx2222cosxxdx02222cosxxdx奇函数解xxfxXEd)()(xxxde5150).(5分钟因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.练习顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?.0,0,0,e51)(5xxxfx1.均匀分布则有xxxfXEd)()(baxxabd1).(21ba1,,()0,.axbfxba其他其概率密度为设,),(~baUX).(21ba几种连续型随机变量的期望结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.2.指数分布,e,0,()0.0,0.xXxfxx设随机变量服从指数分布其概率密度为其中则有xxxfXEd)()(0edxxx00eedxxxx10d(e)xx3.正态分布其概率密度为设),,(~2σμNX则有xxxfXEd)()(.deπ21222)(xσxσμxtσμx令,tσμx.,0,eπ21)(222)(xσσxfσμx.μttσtμttdeπ2deπ212222xσxXEσμxdeπ21)(222)(所以tσtμtde)(π2122μ1.离散型随机变量函数的数学期望kxXkkpxXP}{21011p2p3p4p).(,)(2YEXXgY求若解的分布律先求2XY2XYp4102p31pp4p二、随机变量函数的数学期望设随机变量X的分布律为则有)())(()(2XEXgEYE42124)(10pppp422212221)1(0pppp}.{)(41kkkxXPxg因此离散型随机变量函数的数学期望为若Y=g(X),且,,2,1,}{kpxXPkk则有1(())().kkkEgXgxp例4-5设随机变量X的分布律为0.2Xp21010.30.40.1令(1)0.310.230.450.1求21YX解()EY()EY[2(1)1]0.3[201]0.2[211]0.4[221]0.11.6例4-6设随机变量X的分布律为0.2Xp100.5120.30.10.3令0.310.0250.11.21.625求2YX解()EY()EY22222(1)0.300.20.50.110.120.10.12.连续型随机变量函数的数学期望()()dXgxfxx若X是连续型的随机变量，其概率密度为fX(x),又随机变量Y=g(X)，则当()(())()()dXEYEgXgxfxx收敛时，有例4-9设随机变量V服从[0,a]上均匀分布，其概率密度如下，求W=kV2(k0常数)的数学期望。解：2()()EWEkV1,0,()0,.xafxa其他2()dkvfvv213ka20akvdva例4-10设随机变量X的概率密度如下，求E[|X-E(X)|]。解：()EX,01,()2,120,xxfxxx其他()dxfxx12201(2)xdxxxdx1(|()|)EXEX(|1|)EX1201|1|(2)|1|xxdxxxdx1201(1)(2)(1)xxdxxxdx1/3例4-11设随机变量X~N(μ,2)，令Y=eX，求E(Y)。解：()EY所以()dxXefxx22()21(),2xXfxex由于22()21d2xxeex221d2xttteet22()221d2teet22e3.二维随机变量函数的数学期望.),(ijpYX的联合概率分布为其中.()iiiijiijEXxpxp.()jjjijjijEYypyp[(,)](,)ijijijEgXYgxyp.),()],([,),(,,)1(iijjjipyxgYXgEyxgYX则数为二元函为离散型随