极限四则运算

§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设,,是0xx时的无穷小，即000lim()0,lim()0,lim()0,xxxxxxxxx下面来叙述有关无穷小的运算定理。定理11）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。定理2如果0limxxfxA，0limxxgxB则()()(),()(),0()fxfxgxfxgxBgx，的极限都存在，且（1）000limlimlim;xxxxxxfxgxfxgxAB（2）000limlimlim;xxxxxxfxgxfxgxAB（3）000limlim(0).limxxxxxxfxfxABgxgxB证1因为0limxxfxA，0limxxgxB，所以，当0xx时，0,01，当100xx时，有2)(Axf，对此，02，当200xx时，有2)(Bxg，取},min{21，当00xx时，有22)()())(())(()())()((BxgAxfBxgAxfBAxgxf所以BAxgxfxx))()((lim0。2）因为00lim(),lim()xxxxfxAgxB，由极限与无穷小的关系可以得出,)(,)(BxgAxf（,均为无穷小）于是有()()()()()fxgxABABAB，记BA，则为无穷小，因此0lim()()xxfxgxAB。3）证设BxgAxf)(,)(（,为无穷小），考虑差：)()()(BBABBABABAxgxf其分子AB为无穷小，分母0)(2BBB，我们不难证明)(1BB有界（详细过程见书上）)(BBAB为无穷小，记为，所以BAxgxf)()(，BAxgxf)()(lim。由该定理可以得到如下推论：推论：若0lim()xxfx存在，C为常数，则1）00lim()lim();xxxxCfxCfx2）00lim()lim().nnxxxxfxfx由于数列是函数的一直特殊情形，因此上述定理和推论对数列极限也成立。例1证明：00lim.nnxxxx证因为00lim.xxxx由推论000limlim.nnnxxxxxxx例2求22lim(342)xxx。22222222222lim(342)lim3lim4lim23lim4limlim23242218.xxxxxxxxxxxxx解例3求极限224lim.2xxx解当2x时，分母2x的极限是0，所以不能用极限的四则运算法则，但注意到其分子中也含有2x，且在2x的过程中2x，即20x，于是可以约去不为零的公因子2x，因此22224(2)(2)limlimlim(2)4.22xxxxxxxxx例4求极限22134lim.2xxxxx解当1x时，分子、分母的极限均为零，但该分式的分子、分母中含有一个公因子1x，且在1x的过程中1x，即10x，于是可以约去不为零的公因子2x，因此2211134(1)(4)45limlimlim.2(1)(2)23xxxxxxxxxxxxx例5求极限231lim.9xxx解因为23lim(9)0xx，商的极限运算法则不能用，但由于239lim0,1xxx由无穷小和无穷大的关系，有231lim.9xxx例6求极限4342672lim.261xxxxx解当x时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，所以无法使用极限的四则运算法则，注意到分式的分子和分母的最高次幂都是4，可将分子分母同时除以4x，则有43442247266726limlim3.6126122xxxxxxxxxx练习求极限242232lim.52xxxxx一般地，若000,0,ab有10110101100(),...lim(),...().nnnnmmxmmnmaxaxaxaanmbxbxbxbbnm例7求极限lim(2).xxx解当x时，2,xx均无限增大，都没有极限，不能直接应用极限的四则运算法则，为求此极限，可先将分子有理化，得(2)(2)2lim(2)limlim0.(2)(2)xxxxxxxxxxxxx例8求极限sinlim.xxx解当x时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，但当x时，1x为无穷小，又sinx为有界函数，由于有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以sin1limlimsin0.xxxxxx三复合函数求极限的法则定理3（复合函数的极限运算法则）设函数yfx是由yfu与ux复合而成，yfx在点0x的某去心邻域内有定义，若00lim()xxxu，0lim()uufuA，且00，当000xx时，有0()xu，则00lim()lim()xxuufxfuA。证任给0，由于lim()uafuA，根据函数极限定义，存在相应的0，当0ua时，有()fuA又由于0lim()xxxa，故对上述0，存在相应的10，当010xx时，有()xa，取01min,，则当00xx时，()xa与()0xa同时成立，即0()xa成立，从而有()()fxAfuA，所以0lim()lim()xxuafxfuA．例8求极限sin2limxxx。解2xu，则2xu，当x时，2u，于是2sinsin12limlim.2xuxuxu练习求极限20lim1xxe。