2019年高考理科数学全国卷2(附参考答案和详解)

全国卷!理科!!本试卷分第!卷!选择题和第卷!非选择题两部分#共!#分#考试时间!$#分钟!第!卷!!!!!!!!!!!!!!!!!!一!选择题!本大题共!$小题每小题分共&#分!在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的#!!设集合+’!##$(#0&)##0’!##(!###则+$0’$!!%*%$(A#!%,%$($#!%-%$(+#(!%.%$+#0A%$!设%’(+0$/#则在复平面内!%对应的点位于$!!%*%第一象限,%第二象限-%第三象限.%第四象限+!已知*+++0’$$#+%#*+++.’$+#;%#*++0.’!#则*+++0.*++0.’$!!%*%(+,%($-%$.%+)!$#!8年!月+日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆#我国航天事业取得又一重大成就!实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系!为解决这个问题#发射了嫦娥四号中继星&鹊桥’#鹊桥沿着围绕地月拉格朗日@$点的轨道运行!@$点是平衡点#位于地月连线的延长线上!设地球质量为!#月球质量为$#地月距离为A#@$点到月球的距离为B#根据牛顿运动定律和万有引力定律#B满足方程,!$A0B%$0$B$’$A0B%!A+!设!’BA!由于!的值很小#因此在近似计算中+!+0+!)0!$!0!%$%+!+#则B的近似值为$!!%*%$槡!A,%$$槡!A-%++$槡!A.%+$+槡!A!演讲比赛共有8位评委分别给出某选手的原始评分#评定该选手的成绩时#从8个原始评分中去掉!个最高分/!个最低分#得到7个有效评分!7个有效评分与8个原始评分相比#不变的数字特征是$!!%*%中位数,%平均数-%方差.%极差&!若’)(#则$!!%*%1:$’((%)#,%+’#+(-%’+((+)#.%’)(7!设!#为两个平面#则!,的充要条件是$!!%*%!内有无数条直线与平行,%!内有两条相交直线与平行-%!#平行于同一条直线.%!#垂直于同一平面4!若抛物线&$’$9#$9)#%的焦点是椭圆#$+90&$9’!的一个焦点#则9’$!!%*%$,%+-%).%48!下列函数中#以#$$为周期且在区间#)##%$单调递增的是$!!%*%*$#%’529$#,%*$#%’9/:$#-%*$#%’529#.%*$#%’9/:#!#!已知!$3###%$#$9/:$!’529$!0!#则9/:!’$!!%*%!,%槡-%槡++.%槡$!!!设/为双曲线.,#$’$(&$($’!$’)##()#%的右焦点#3为坐标原点#以3/为直径的圆与圆#$0&$’’$交于1#C两点!若1C’3/#则.的离心率为$!!%槡槡槡*%$,%+-%$.%!$!设函数*$#%的定义域为!#满足*$#0!%’$*$#%#且当#3$##!)时#*$#%’#$#(!%!若对任意#3$(A#D)#都有*$#%1(48#则D的取值范围是$!!%$*%(A#)8)$,%(A#)7+$-%(A#)$$.%(A#)4+第卷!!本卷包括必考题和选考题两部分!第!+($!题为必考题#每个试题考生都必须作答!第$$($+题为选考题#考生根据要求作答!二!填空题!本大题共)小题每小题分共$#分!把答案填在题中横线上#!+!我国高铁发展迅速#技术先进!经统计#在经停某站的高铁列车中#有!#个车次的正点率为#!87#有$#个车次的正点率为#!84#有!#个车次的正点率为#!88#则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为!!!!!!)!已知*$#%是奇函数#且当###时#*$#%’(’##若*$1:$%’4#则’’!!!!!!!’+0.的内角+#0#.的对边分别为’#(#)!若(’&#’’$)#0’#+#则’+0.的面积为!!!!!!&!中国有悠久的金石文化#印信是金石文化的代表之一!印信的形状多为长方体/正方体或圆柱体#但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是&半正多面体’$图$%!半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体!半正多面体体现了数学的对称美!图%是一个棱数为)4的半正多面体#它的所有顶点都在同一个正方体的表面上#且此正方体的棱长为!!则该半正多面体共有!!!!个面#其.’.2019年高考数学棱长为!!!!!$本题第一空$分#第二空+分%!!!!!!!!!$!!!!!!!!%第!&题图三!解答题!解答应写出文字说明证明过程或演算步骤#!7!$本小题满分!$分%如图#长方体+0.52+!0!.!5!的底面+0.5是正方形#点4在棱++!上#04&4.!!$!%证明,04&平面40!.!-$$%若+4’+!4#求二面角024.2.!的正弦值!第!7题图!4!$本小题满分!$分%!!分制乒乓球比赛#每赢一球得!分#当某局打成!#=!#平后#每球交换发球权#先多得$分的一方获胜#该局比赛结束!甲/乙两位同学进行单打比赛#假设甲发球时甲得分的概率为#!#乙发球时甲得分的概率为#!)#各球的结果相互独立!在某局双方!#=!#平后#甲先发球#两人又打了8个球该局比赛结束!$!%求1$8’$%-$$%求事件&8’)且甲获胜’的概率!!8!$本小题满分!$分%已知数列!’-和!(-满足’!’!#(!’##)’-0!’+’-((-0)#)(-0!’+(-(’-()!$!%证明,!’-0(-是等比数列#!’-((-是等差数列-$$%求!’-和!(-的通项公式!.(.$#!$本小题满分!$分%已知函数*$#%’1:#(#0!#(!!$!%讨论*$#%的单调性#并证明*$#%有且仅有两个零点-$$%设##是*$#%的一个零点#证明曲线&’1:#在点+$###1:##%处的切线也是曲线&’#的切线!$!!$本小题满分!$分%已知点+$($##%#0$$##%#动点$##&%满足直线+与0的斜率之积为(!$!记的轨迹为曲线.!$!%求.的方程#并说明.是什么曲线!$$%过坐标原点的直线交.于1#C两点#点1在第一象限#14&#轴#垂足为4#连接C4并延长交.于点E!$证明,’1CE是直角三角形-%求’1CE面积的最大值!!!请考生在第$$($+题中任选一题作答#如果多做#则按所做的第一题计分!作答时请写清题号!$$!$本小题满分!#分%选修)2),坐标系与参数方程在极坐标系中#3为极点#点$###$#%$##)#%在曲线.,#’)9/:$上#直线6过点+$)##%且与3垂直#垂足为1!$!%当$#’#+时#求##及6的极坐标方程-$$%当在.上运动且1在线段3上时#求1点轨迹的极坐标方程!$+!$本小题满分!#分%选修)2,不等式选讲已知*$#%’#(’#0#($$#(’%!$!%当’’!时#求不等式*$#%##的解集-$$%若#3$(A#!%时#*$#%###求’的取值范围!.).答案(!!!!$#!$年普通高等学校招生全国统一考试!全国卷’!!答案!;解析!.$3*$#&5)’%#%$$#&!#%*$#或%(%$$#!%*$#!%!故选;!!答案!%解析!%*&(&,!故%对应的点&(!&#位于第三象限!故选%!(!答案!%解析!-)**34*)**.4&)**.3*(!B#&!(#*!!B&(#!#)**34#*!!+!)B&(#槡*!!+B*(!+)**34*!!##!+)**.3&)**34*!)(#*!故选%!2!答案!8解析!由!*A6得A*!6!代入$!6)A#)$A*6)A#$!6(!整理得(!()(!2)!5!)!#*$$!!又-(!()(!2)!5!)!#&(!(!+(!(&$$!!+!&($($槡!!+A*!6&($($槡!6!故选8!5!答案!;解析!中位数是将$个数据从小到大或从大到小排列后!处于中间位置的数据!因而去掉!个最高分和!个最低分!不变的是中位数!平均数-方差-极差均受影响!故选;!’!答案!%解析!方法!,不妨设’*&!!(*&!则’%(!可验证;!.!8错误!只有%正确!方法,由’%(!得’&(%#!但’&(%!不一定成立!则/:’&(#%#不一定成立!故;不一定成立!因为&*(在上是增函数!当’%(时!(’%((!故.不成立!因为&*(在上是增函数!当’%(时!’(%((!即’(&((%#!故%成立!因为当’*(!(*&’时!’%(!但#’##(#!所以8不一定成立!故选%!7!答案!.解析!若!.!则!内有无数条直线与平行!反之则不成立)若!!平行于同一条直线!则!与可以平行也可以相交)若!!垂直于同一个平面!则!与可以平行也可以相交!故;!%!8中条件均不是!.的充要条件!根据平面与平面平行的判定定理知!若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行!则两平面平行!反之也成立!因此.中条件是!.的充要条件!故选.!6!答案!8解析!抛物线&*@@%##的焦点坐标为@!#$#!椭圆(@)&@*!的焦点坐标为C槡@!#$#!由题意得@*槡@!解得@*#舍去#或@*6!故选8!第$题图$!答案!;解析!作出函数,#*#309#的图象!如图!由图象可知,#*#309#的周期为#!在区间#2!##$上单调递增!同理可得,#*#9,:#的周期为#!在区间#2!##$上单调递减!,#*309##的周期为#!,#*9,:##不是周期函数!排除.!%!8!故选;!!#!答案!.解析!由9,:!*309!)!!得29,:!309!*309!!又-!+#!##$!+AD:!*!!+9,:!*槡55!故选.!第!!题图!!!答案!;解析!设双曲线4,’&&(*!’%#!(%##的右焦点2的坐标为)!##!由圆的对称性及条件#-F#*#:2#可知!-F是以:2为直径的圆的直径!且-F’:2!设垂足为$!连接:-!如图!则#:-#*’!#:$#*#$-#*)!由#:$#)#$-#*#:-#得)#$))#$*’!故)’槡*!即;槡*!故选;!!!答案!.解析!当+#!!*时!,#*&!#!+当+#!!*时!,#+&!2!-*#!-,)!#*,#!+当+&!!#*时!)!+#!!*!,#*!,)!#*!)!#!,#+&!6!-*#)当+&!&!*时!)!+&!!#*!,#*!,)!#*!2,)#*!2)#)!#!,#+&!!’!-*#).)当+!!*时!&!+#!!*!,#*,&!#*&!#&#!,#+&!!-*#)当+!(*时!&!+!!*!,#*,&!#*2,&#*2&#&(#!,#++&!!#*).!,#的图象如图所示!第!题图若对任意+&B!**!都有,#5&6$!则有*((!设,*#*&6$!则2*&#*&(#*&6$!+**7(或**6(!结合图象可知!当*(7(时!符合题意!故选.!参考答案与详细解析答案2!!!!!(!答案!#!$6解析!*!##!$7)##!$6)!##!$$!#)#)!#*#!$6!则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为#!$6!!2!答案!&(解析!设%#!则&#!-当#时!,#*&=’!+,&#*&=&’!-,#是奇函数!+,#*&,&#*=&’!+,/:#*=&’/:*=/:#&’*&’!又-,/:#*6!+&’*6!+’*&(!!5!答案!槡’(解析!由余弦定理得(*’))&’)3093!又-(*’!’*)!3*#(!+(’*2)))&)!!+)槡*(!’槡*2(!+1,.34*!’)9,:3*!槡槡2((槡(槡*’(!!’!答案!’!槡&!解析!先求面数!有如下两种方法!方法!,由/半正多面体0的结构特征及棱数为26可知!其上部分有$个面!中间部分有6个面!下部分有$个面!共有$)6*’个#面!方法,一般地!对于凸多面体!顶点数7#)面数2#&棱数5#*欧拉公式#!由图形知!棱数为26的半正多面体的顶点数为2!故由7)2&5*!得面数2*)5&7*)26&2*’!再求棱长!第!’题图作中间部分的横截面!由题意知该截面为各顶点都在边长为!的正方形上的正八边形.3452G!如图!设其边长为!则正八边形的边长即为半正多面体的棱长!连接.2!过!G分别作$’.2!G#