高中数学高考复习中抽象函数周期问题复习-经典

抽象函数的周期问题——由一道高考题引出的几点思考2001年高考数学（文科）第22题：设fx()是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称。对任意xx12012，，[]都有fxxfxfx()()()1212。（I）设f()12，求ff()()1214，；（II）证明fx()是周期函数。解析：（I）解略。（II）证明：依题设yfx()关于直线x1对称故fxfxxR()()2，又由fx()是偶函数知fxfxxR()()，fxfxxR()()2，将上式中x以x代换，得fxfxxR()()2，这表明fx()是R上的周期函数，且2是它的一个周期fx()是偶函数的实质是fx()的图象关于直线x0对称又fx()的图象关于x1对称，可得fx()是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设fx()是定义在R上的偶函数，其图象关于直线xaa()0对称，证明fx()是周期函数，且2a是它的一个周期。证明：fx()关于直线xa对称fxfaxxR()()2，又由fx()是偶函数知fxfxxR()()，fxfaxxR()()2，将上式中x以x代换，得fxfaxxR()()2，fx()是R上的周期函数且2a是它的一个周期思考二：设fx()是定义在R上的函数，其图象关于直线xa和xbab()对称。证明fx()是周期函数，且2()ba是它的一个周期。证明：fx()关于直线xaxb和对称fxfaxxRfxfbxxRfaxfbxxR()()()()()()2222，，，将上式的x以x代换得faxfbxxR()()22，fxbafxabfxaafxxR[()][()][()]()22222，fx()是R上的周期函数且2()ba是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，fx()还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设fx()是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x1对称。证明fx()是周期函数，且4是它的一个周期。，证明：fx()关于x1对称fxfxxR()()2，又由fx()是奇函数知fxfxxRfxfxxR()()()()，，2将上式的x以x代换，得fxfxxRfxfxfxfxfxxR()()()[()]()[()]()24222，，fx()是R上的周期函数且4是它的一个周期fx()是奇函数的实质是fx()的图象关于原点（0，0）中心对称，又fx()的图象关于直线x1对称，可得fx()是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到思考四：设fx()是定义在R上的函数，其图象关于点Ma()，0中心对称，且其图象关于直线xbba()对称。证明fx()是周期函数，且4()ba是它的一个周期。证明：fx()关于点Ma()，0对称faxfxxR()()2，fx()关于直线xb对称fxfbxxRfbxfaxxR()()()()222，，将上式中的x以x代换，得fbxfaxxRfxbafbxbafaxbafbxafaxafxxR()()[()][()][()][()][()]()2242242242222，，fx()是R上的周期函数且4()ba是它的一个周期由上我们发现，定义在R上的函数fx()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则fx()是R上的周期函数。进一步我们想到，定义在R上的函数fx()，其图象如果有两个对称中心，那么fx()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设fx()是定义在R上的函数，其图象关于点Ma()，0和Nbab()()，0对称。证明fx()是周期函数，且2()ba是它的一个周期。证明：fx()关于MaNb()()，，，00对称faxfxxRfbxfxxRfaxfbxxR()()()()()()2222，，，将上式中的x以x代换，得faxfbxxRfxbafbxafaxafxxR()()[()][()][()]()2222222，，fx()是周期函数且2()ba是它的一个周期抽象函数解法举例1．已知函数f(x)=1)(1)(xgxg,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)0,g(1)=2,g(x)是增函数.g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求证：①f(x)是R上的增函数②当nN,n≥3时,f(n)1nn解:①设x1x2g(x)是R上的增函数,且g(x)0g(x1)g(x2)0g(x1)+1g(x2)+101)(22xg1)(21xg01)(22xg-1)(21xg0f(x1)-f(x2)=1)(1)(11xgxg-1)(1)(22xgxg=1-1)(21xg-(1-1)(22xg)=1)(22xg-1)(21xg0f(x1)f(x2)f(x)是R上的增函数②g(x)满足g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)且g(x)0g(n)=[g(1)]n=2n当nN,n≥3时,2nnf(n)=1212nn＝1-122n，1nn＝1-11n2n＝（1+1）n＝1+n+…+inC+…+n+12n+12n+12n+2122n11n,即1-122n1-11n当nN,n≥3时,f(n)1nn2．设f1(x)f2(x)是(0,+∞)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)=f1(x)+f2(x),且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x1,x2恒有|f1(x1)－f1(x2)||f2(x1)－f2(x2)|①求证：f(x)在(0,+∞)上单增.②设F(x)=xf(x),a0、b0.求证：F(a+b)F(a)+F(b).①证明:设x1x20f1(x)在(0,+∞)上单增f1(x1)－f1(x2)0|f1(x1)－f1(x2)|=f1(x1)－f1(x2)0|f1(x1)－f1(x2)||f2(x1)－f2(x2)|f1(x2)-f1(x1)f2(x1)－f2(x2)f1(x1)－f1(x2)f1(x1)+f2(x1)f1(x2)+f2(x2)f(x1)f(x2)f(x)在(0,+∞)上单增②F(x)=xf(x),a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+∞)上单增F(a+b)af(a)+bf(b)=F(a)+F(b)3．函数y＝f(x)满足①f(a+b)＝f(a)·f(b)，②f(4)＝16,m、n为互质整数，n≠0求f(nm)的值f(0)=f(0+0)=f(0)·f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0)·f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2)·f(2)=f(1)·f(1)·f(1)·f(1)=16f(1)=f2(21)≥0f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)是非负函数.f(0)=f(a+(-a))=f(a)·f(-a)f(-a)=)(1afn∈N*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(n1+n1+…+n1)=fn(n1)=2f(n1)=n12f(nm)=[f(n1)]m=nm24．定义在（-1，1）上的函数f(x)满足①任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f(xyyx1)，②x∈（-1，0）时，有f(x)01)判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由2)判定f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明3)求证：f(1312nn)＝f(11n)－f(21n)或f(51)+f(111)+…+f(1312nn)f(21)(n∈N*)解:1)定义在（-1，1）上的函数f(x)满足任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f(xyyx1),则当y=0时,f(x)+f(0)＝f(x)f(0)=0当-x=y时,f(x)+f(-x)＝f(0)f(x)是（-1，1）上的奇函数2)设0x1x2-1f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=)1(2121xxxxf0x1x2-1,x∈（-1，0）时，有f(x)0,1-x1x20,x1-x20)1(2121xxxxf0即f(x)在（-1，0）上单调递增.3)f(1312nn)=f(12312nn)=f()2)(1(11)2)(1(1nnnn)=f(211112111nnnn)=f(11n)-f(21n)f(51)+f(111)+…+f(1312nn)=f(21)-f(31)+f(31)-f(41)+f(41)+…+f(11n)-f(21n)=f(21)-f(21n)=f(21)+f(-21n)x∈（-1，0）时，有f(x)0f(-21n)0,f(21)+f(-21n)f(21)即f(51)+f(111)+…+f(1312nn)f(21)1)5．设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x1、x2[0,12]都有f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2),且f(1)=a0.①求f(12)及f(14);②证明f(x)是周期函数③记an=f(2n+12n),求limn(lnan)解:①由f(x)=f(x2+x2)=[f(x)]20,f(x)a=f(1)=f(2n·12n)=f(12n+12n+…+12n)＝[f(12n)]2解得f(12n)=na21f(12)=21a,f(14)=41a.②f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(x)=f(-x).f(x)是以2为周期的周期函数.③an=f(2n+12n)=f(12n)=na21limn(lnan)=limnaa2ln=06．设)(xfy是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0)，②设当x0时，都有f(x)f(0)证明当x0时0f(x)1,③设a1=21,an=f(n)（n∈N*），sn为数列｛an｝前n项和，求limnsn.解：①②仿前几例，略。③an＝f(n)，a1＝f(1)＝21an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝21an数列｛an｝是首项为21公比为21的等比数列sn＝1-n21limnsn＝17．设)(xfy是定义在区间]1,1[上的函数，且满足条件：（i）;0)1()1(ff（ii）对任意的.|||)()(|],1,1[,vuvfufvu都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[xxfxx都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,vfufvu都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(xfy，且使得].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|vuvuvfufvuvuvfuf当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[x时，有,1|1|)1()(|)(|xxfxfxf即.1)(1xxfx（Ⅱ）证法一：对任意的1.|v-u||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,有时