勾股定理与方程思想的综合应用

BCA直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方abc22abc2勾股定理的常见表达式和变形式在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？感受新知1EDBCAAB的中垂线DE交BC于点DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD==3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，BC=3.AB的中垂线DE交BC于点D,连结AD，则AD的长为——.x3-x感受新知2在直角三角形中（已知两边的数量关系）设其中一边为x利用勾股定理列方程解方程求各边长如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.CBADE66例1解：在Rt△ABC中AC=6cm，BC=8cm∴AB=10cm设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,∠C=∠AED=90°解得x＝3∴CD=DE=3cm∴BE＝10-6＝4cm,∠BED=90°在Rt△BDE中由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42CBADE66例1练习在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？请解这道题。例2有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？DBAC例2解:设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺，由题意，得x2+52=(x+1)2有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？DBAC解得：x=12答：水深12尺，芦苇长13尺。5x1x+1例2思考11、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBD解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x）2∴x=10答：E站应建在离A站10km处。x25-xCAEBD1510思考1在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ABCD5m10m思考2ABCD解：如图，D为树顶，AB=5m,BC=10m.设AD长为xm，则树高为(x+5)m.∵AD+DC=AB+BC,∴DC=10+5–x=15-x.在Rt△ABC中，根据勾股定理得解得x=2.5答：树高为7.5米。5m10m∴x+5=2.5+5=7.5102+(5+x)2=(15–x)2思考2小结应注意：没有图的要按题意画好图并标上字母.