中考数学专题：最短距离问题

1最短距离问题分析洪湖市峰口镇二中刘万兵最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是___________；（2）如图2，O⊙的半径为2，点ABC、、在O⊙上，OAOB，60AOC°，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；解：（1）PBPE的最小值是5DE（2）PAPC的最小值是23【典型例题分析】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．6ADEPBCABA′PlABECBD图1OABC图2P2第4题OxyBDACP2．如图，抛物线2124yxx的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.解：(1)令x=0，得y=2，∴B(0，2)∵22112(2)344yxxx∴A(-2，3)(2)证明：ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB.∴综合上述：PA-PB≤AB.(3)作直线AB交x轴于点P由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点作AH⊥OP于H∵BO⊥OP∴∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠APH∴△BOP∽△AHP∴AHHPBOOP由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2即322OPOP∴OP=4，∴P(4，0)标为1122，．PED△的周长即是102CEDE．．4.一次函数ykxb的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．∴解析式为：y＝－2x＋4；(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝'22CCCD＝22；易得点P的坐标为(0，1)．(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)5.已知：抛物线的对称轴为与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中30A，、02C，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC△的周长最小．请求出点P的坐标．BOA·xyPHBOA·xy3解：（1）此抛物线的解析式为224233yxx（2）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以PBC△周长最小，就是使PCPB最小.B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴1x的交点即为所求的点P.设直线AC的表达式为ykxb则302kbb，解得232kb∴此直线的表达式为223yx．把1x代入得43y∴P点的坐标为413，6.如图，抛物线2yaxbxc的顶点P的坐标为4313，，交x轴于A、B两点，交y轴于点(03)C，．（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知解得33a，233b∴抛物线的解析式为2323333yxx（第24题图）OACxyBEPDACxyBO5题图ACxyBODOxyBEPACDOxyBEPCP4xyOAFEM'A'MB33（2）设点A（1x，0），B（2x，0），则23233033xx，解得1213xx，∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝||3||OBOC∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD∴四边形ADBC是平行四边形又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形（3）延长BC至N，使CNCB．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．即FDFBDB最小．∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN∴FD+FB＝FD+FN．∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．又∵C为BN的中点，∴12FCAC（即F为AC的中点）．又∵A（－1，0），C（0，－3）∴点F的坐标为F（12，32）∴存在这样的点F（12，32），使得△FBD的周长最小．7.如图（1），抛物线3518532xxy和y轴的交点为MA,为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。解：如图（1`），由题意可得A（0，3），M)23,0(，抛物线的对称点为3x，点M关于x轴的对称点为'M)23,0(，点A关于抛物线对称轴3x的对称点为'A（6，3）。连结''AM。根据轴对称性及两点间线段最短可知，'A'M的长就是所求点P运动中最短总路程的长，'A'M在直线的方程为2343xy（过程略）。设'A'M与x的交点为,E则E为在x轴上所求的点，'A'M与直线3x的交点为所求的F点。可得E点的坐标为（2，0），F点的坐标为43,3(）。由勾股定理可求出'A'M215（过程略）所以点P运动的总路程（FAEFME）最短时间为215。xyOAFEM5不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”