高等代数(北大第三版)第一章多项式-1.10

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、n元多项式的概念二、有关性质三、齐次多项式四、n元多项式函数§1.10多元多项式一、n元多项式概念设为一个数域，是个文字,形式P12,,,nxxxn1212,,,1,2,,,nkkkniaxxxaPkZin1.n元多项式时，称此单项式中各文字的指数之和0a称为数域上的一个单项式；P12nkkk为这个单项式的次数；§1.10多元多项式有限个单项式的和1212121212(,,,)nnkkknkkknkkknfxxxaxxxn元多项式中系数不为零的单项式的最高次数称称为数域上的一个元多项式；nP为这个多项式的次数．如果两单项式中相同文字的指数对应相等，则称它们为同类项；§1.10多元多项式的集合称为数域上的元多项式环，记作Pn12[,,,].nPxxx4.n元多项式环数域上关于文字的全体元多项式Pn12,,,nxxx加法减法乘法2.n元多项式的运算3.n元多项式的相等§1.10多元多项式1212121212(,,,)nnkkknkkknkkknfxxxaxxx中的两个单项式1212,nkkknaxxx1212,nlllnbxxx任取n元多项式5.n元多项式的字典排列法若有某个使1,in1122110,0iiiiklklklkl（1）§1.10多元多项式（此时也称数组先于记作12(,,,)nkkk12(,,,),nlll1212(,,,)(,,,).nnkkklll则在多项式（1）中，把单项式写在1212nkkknaxxx的前面．1212nlllnbxxx将n元多项式中各单项式按当n＝1时，字典排列法即为降幂排列法．这种先后次序排列的方法称为字典排列法．按字典排列法写出的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项．§1.10多元多项式注意：例如，2223123123121(,,)2fxxxxxxxxx的次数为5，f32221121232,xxxxxx31.x首项为多元多项式的首项未是最高次项．§1.10多元多项式定理14当时,11(,,)0,(,,)0nnfxxgxx积的首项等于11(,,)(,,)nnfxxgxx1(,,)nfxx的首项与的首项的积．1(,,)ngxx推论1若则积1(,,)0,1,2,,,infxxim12mfff的首项等于的首项的积．12,,,mfff二、有关性质推论2若则11(,,)0,(,,)0,nnfxxgxx11(,,)(,,)0.nnfxxgxx§1.10多元多项式若多项式1212121212(,,,)nnkkknkkknkkknfxxxaxxx12(,,,)nfxxx为m次齐次多项式．中每个单项式全是m次的，则称三、齐次多项式定义§1.10多元多项式1．两个齐次多项式的积仍然是齐次多项式；积的次数等于这两个齐次多项式的次数之和．2．任一次多项式都可唯一地表成m1(,,)nfxx111(,,)(,,),mninifxxfxx其中是次齐次多项式，称之为1(,,)infxxi的次齐次成分．1(,,)nfxxi性质§1.10多元多项式111(,,)(,,)(,,)kninjnijkhxxfxxgxx特别地，111(,,)(,,)(,,).mlnmnlnhxxfxxgxx4．积的次数＝因子的次数之和．3．设111(,,)(,,),mninifxxfxx的次齐次成分为k则积111(,,)(,,)(,,)nnnhxxfxxgxx111(,,)(,,),lninigxxgxx§1.10多元多项式四、n元多项式函数与一元多项式一样我们可以定义n元多项式函数、函数值等概念．