高等代数(北大版)第一章-多项式1.6

主讲老师：联系电话：高等代数§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、k重因式二、重因式的判别和求法一、k重因式设为数域P的不可约多项式，()P[],fxx()px则称为的重因式.()fxk()px若1,则称为的重因式.k()fx()px（若=0，不是的因式)k()fx()px若，但()|()kpxfx1()|(),kpxfx定义若＝1,则称为的单因式.k()fx()px1.若的标准分解式为：()fx1211()()()()srrrsfxcpxpxpx则为的重因式.ir1,2,is()ipx()fx时，为单因式;1ir()ipx时,为重因式.1ir()ipx二、重因式的判别和求法2.定理6若不可约多项式是的重因式()fxk()px(1),k证:假设可分解为()fx()()(),kfxpxgx1()()()()()()kfxpxkgxpxpxgx1()|().kpxfx其中()|().pxgx则它是的微商的重因式.1k()fx()fx令()()()()(),hxkgxpxpxgx是的重因式()px()fx1k且,()|()pxgx()|()pxpx()|()(),pxkgxpx()|()pxhx()|()kpxfx为的重因式，但未必是()px()fx1k()px()fx的重因式.k注意定理6的逆命题不成立，即推论1若不可约多项式是的重因式则是的因式，但不是的因式.()px()()kfx()fx(1),k()px(1)(),(),,()kfxfxfxk推论2不可约多项式是的重因式()px()fx是与的公因式.()fx()px()fx推论3推论4多项式没有重因式()fx((),())1.fxfx，若其中为不可约多项式，则为的重因式.()fx()P[]fxx11((),())()(),srrsfxfxpxpx()ipx()ipx1ir根据推论3、4可用辗转相除法，求出((),())fxfx说明来判别是否有重因式．若有重因式，还可由()fx的结果写出来.((),())fxfx532()1020154fxxxxx例1.判别多项式有无重因式.()fx推论5注:不可约多项式为的重因式为的重因式.()fx()px()pxk((),())fxfx1k与有完全相同的不可约因式，()fx()((),())fxfxfx()((),())fxfxfx且的因式皆为单因式.