几种求数列前n项和的方法

1几种求数列前n项和的常用方法1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.①等差数列求和公式：11122nnnaannSnad②等比数列求和公式：11111111nnnnaqSaqaaqqqq常见的数列的前n项和：123……+n=(1)2nn，1+3+5+……+(2n-1)=2n2222123……+n=(1)(21)6nnn，3333123……+n=2(1)2nn等.2、倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值.解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….….….….①将①式右边反序得：1sin2sin3sin88sin89sin22222S……②又因为sincos(90)xx，22sincos1xx，①+②得：2222222(sin1cos1)(sin2cos2)(sin89cos89)S＝89∴S＝44.5小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和.3、错位相减法：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.2例、求和：2112301nnSxxnxxx，（课本61页习题2.5A组4）解：设Sn=1+2x+3x2+…+(n-1)xn-2+nxn-1，①则：xSn=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn②①－②得：(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-2+xn-1－nxn③∴当x=1时，(1)12312nnnSnn∴当x≠1时，2121(1)1...11111(1)1nnnnnnnxxxxnxnxxnxxSxxxxx小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.4、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例、求和：123235435635235nnSn解：123235435635235nnSn123246235555nn2111553113114515nnnnnn（课本61页习题2.5A组4）例、求和：23123nnSaaaan（课本61页习题2.5A组4）解：2(1)1(1)(2)...()12...(1)2nnnaaaann当时，-221(1)(2)...()(...)(12...)naaaanaaan当时，-(1)(1)12naanna小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.35、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似1nncaa（其中na是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（1）1111nnkknnk，特别地当1k时，11111nnnn（2）11nknknkn，特别地当1k时111nnnn例、数列na的通项公式为1(1)nann，求它的前n项和nS解：1231nnnSaaaaa1111112233411nnnn=11111111112233411nnnn1111nnn例、求数列1111,,,,,1223321nn的前n项和nS.解：设nnnnan111，则11321211nnSn=)1()23()12(nn＝11n小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.