自控原理习题参考答案(8)

第八章习题参考答案8-3设系统如图8-30所示，其中继电器非线性特性的a＝1。试用描述函数法分析系统是否会出现自持振荡？如存在，试求出系统自持振荡的振幅和频率的近似值。解：死区继电特性的描述函数为：2)(14=)(AaAπMAN－（A≥a）将M=1，a=1代入上式得：22)1(14=)(14=)(AAπAaAπMAN－－当Aa时，N(A)=0，即－1/N(A)→－∞；当A→∞时，N(A)→0，即－1/N(A)→－∞。可见－1/N(A)存在极限值。令F(A)=－1/N(A)，则2322)1()2(4=)(－－－AAAπdAAdF由0=dA)A(dF，得2=A。＜０－－－－πAAAπdA)A(FdAA=)1(1)2+(4=2=32222=22因此，当2=A时，负倒描述函数有最大值：7.51=2=14=)(1=)(12=222=－－－－－－πAAπANANAAmax负倒描述函数曲线如下图所示。系统线性部分传递函数为：)2+)(1+(10=)(ssssG图8-30题8-3图rc+-em0a110(1)(2)sss其频率特性为：)2+)(1+(10=)(jωjωωjωjG幅频特性和相频特性分别为：)4+)(1+(10=|)(22ωωωωjG|，ω.arctanωarctanωφ5090=)(－－－令180=)(－ωφ，即180=5090=)(－－－－ω.arctanωarctanωφ90=50+ω.arctanωarctan→90=.501.512ωωarctan－解得2=ω，此时7.61≈35=18210=)4+)(1+(10=|)2(22ωωωjG|因此，当2=ω时，线性部分奈氏曲线ΓG与负实轴的交点坐标为（－1.67，j0）。ΓG曲线如下图所示。由图可见，ΓG曲线和－1/N(A)曲线存在两个交点。由14=)(1)2+)(1+(10=)(22－－＝－AAπＡＮjωjωωjωjG解得两组解：2=1ω，2.21=1A和2=2ω，37.1=2A根据周期运动稳定性判据，A1和ω1对应不稳定的周期运动；A2和ω2对应稳定的周期运动。当初始条件或外扰动使AA1，则系统运动不存在自振荡，稳态误差ae；当初始条件或外扰动使AA1，则系统运动存在自振荡：tsin.)t(e2731=0()jY()X07.61－7.1５－)(1AN－