第三章-变额年金

变额年金2主要内容•递增年金（离散支付，离散递增）•递减年金（离散支付，离散递减）•复递增年金：按几何级数递增的年金•每年支付m次的递增年金（递减年金，略）•连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减）•连续支付、连续递增（或递减）的年金•一般形式的连续支付、连续变额现金流31、递增年金（increasingannuity）•期末付递增年金(increasingannuity-immediate)：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算术级数递增。•用表示其现值：•上式两边乘以(1+i)：|)(nIannnvvvvIa32|32)(21|(1)()123nniIavvnv231|()(1)nnniIavvvvnv4••递增年金的现值：231|()(1)nnniIavvvvnv|nnanv()nnnanvIai5•例：证明下列关系式成立：（1）（2）1||(1)()nnnanvIai|||()nnnnanvIaai||()nnnanvIai已知：6例：写出下述年金的现值公式设A表示此年金的现值，则PP＋QP＋2Q……P＋(n-2)QP＋(n-1)Q0123……n-1n1()nnAPaQvIa7•根据现值求得其累积值为()(1)()(1)nnnnnnanvIsiIaii()(1)()nnnnanvIaiIad()=(1+)()nnIsiIsnsndnsni现值累积值||()nnnanvIai期初付递增年金(increasingannuity-due)8•当时，还可以得到递增永续年金的现值为•在计算上述极限时，||()lim()nnIaIa|||()lim()limnnnnnanvIaIadnlimlim0(1)nnnnnnvi|limnnnanvi1di21d递增永续年金(increasingperpetuity)9•例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？•解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200900100010|10|900100()=6949.56+3937.38=1088.69()aIa元12时期0123…n–1n递减年金nn–1n–2…21等额年金111…11111…1111…………111111期末付递减年金(decreasingannuity-immediate)：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算术级数递减。2、递减年金（decreasingannuity）13•递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，即：11()nnnDaaaa1111nnvvviii1()=nnnvvvi()nnnaDai14•递减年金的其他公式：||()=(1+)()nnDaiDa|=nnad||()=(1)()nnnDsiDa|(1)nnnisd||||(1)()(1)()(1)nnnnnnnnanisDsiDaiii||()nnnaDai15•例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为12nn-11|1|()()nnnIavDa||nnaa16|1|)()(nnnaDvaI|1|+(1)nnnnnaivnvai1|1|11()nnnnnnnvnivvvaa1|1|1(1)nnnnavavi1|1(1)(1)nnvai||nnaa183、复递增年金•含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。•期初付复递增年金(compoundincreasingannuity-immediate)：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按的复利r增长，直到第n年初支付(1+r)n-1。注：r0，递减。2211PV1(1)(1)(1)nnrvrvrv初19•令，则：21111PV1111nnjajjj初1(1)1rvj(1)(1)(1)1(1)11rjirvirjjr其中2211PV1(1)(1)(1)nnrvrvrv初20•期末付复递增年金的现值：PVPV1+1njaii初末1irjr其中21•例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这项年金在时刻零的现值。•解：年金的现金流如下：22•现值：•其中•现值：10101111000100010042.291.041.04/(1)jajjj（）101000100011.04njjaai0.040.050.009524110.05irjr例•年金的年增长率r与年实际利率i相等，即j=0.请计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少？•解：期初付=n期末付=n/(1+i)232211PV1(1)(1)(1)nnrvrvrv初24Exercise•Aperpetuity-immediatepays100peryear.•Immediatelyafterthefifthpayment,theperpetuityisexchangedfora25-yearannuity-immediatethatwillpayXattheendofthefirstyear.Eachsubsequentannualpaymentwillbe8%greaterthantheprecedingpayment.•Immediatelyafterthe10thpaymentofthe25-yearannuity,theannuitywillbeexchangedforaperpetuity-immediatepayingYperyear.•Theannualeffectiverateofinterestis8%.•CalculateY.25100100100100100第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250100X1.08X1.082X1.083X1.0824X由于利率i＝0.08，与年金增长率相等，故上述递增年金的现值为：PV=X·n/(1+i)=25X/1.08X=541250=25X/1.08第一次替换后的递增年金：25次付款26X1.089X1.0810X1.0824X第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08价值方程(X=54)为：Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)=54(1.08)9·15注：v=1.08-1由此可得：Y=129.5Y……原年金剩余10次原年金已支付10次回顾与展望（算数级数递增或递减）27()nnnaDai()nnnanvIai1年支付1次1年支付m次连续支付，离散变化连续支付，连续变化284、每年支付m次的递增年金(increasingmthlyannuity)•如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下述两种情况：–同一年的每次付款相同（每年递增一次）：increasingmthlyannuity–同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一次）：mthlyincreasingmthlyannuity（略）29每年支付m次的递增年金(increasingmthlyannuity)：同一年的每次付款相同()()211()(123)mmnnIaavvnv现值：()()211()(123)mmnnIaavvnv()()11()(1)()mmnnvvIaiIaii()()()()mmnniIaIai每年支付m次的递增年金31()()()()mmnniIaIai()()mnIs()()mnIa()()mnIs关系：32•每年支付m次的递增年金(mthlyincreasingmthlyannuity)：同一年的每次付款递增两种方法计算现值：（1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。（2）建立新公式（略）33()()21,(1)1mmmnmjnIaIajim应用递增年金公式计算现值：34例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：100100100100200200200200(4)(4)2|2400()400()iIaIai01235100200300400500600700800012例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：88848(1)100()1003148.8(1)110%jjjIajaj36()()211()(1)(2)mmnnDaannvnvv()()11()(1)()mmnnvvDaiDaii()()()()mmnniDaDai每年支付m次的递减年金37()()()()mmnniDaDai()()mnDs()()mnDa()()mnDs关系：385、连续支付的变额年金(continuouslypayablevaryingannuity)•含义：连续支付，但支付金额离散变化。–连续支付的递增年金–连续支付的递减年金•假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元，如下图所示：39•连续支付的递增年金的现值：()()=lim()mnnmIaIa()lim()=()mnnmiiIaIai()()nniIaIa40•例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。•解：分解为两项年金:1010PV2010()aIa41•计算：10107.91iaa1010()()40.35ln(1)nnanviiIaIaii1010PV2010()561.77aIa42•连续支付的递增年金的终值：•连续支付的递增永续年金的现值：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为()(1)()nnnIsiIa1/1()limnnnanvdIad43•连续支付的递减年金：连续支付，支付金额离散递减。()()()lim()lim()()mmnnnnmmiiDaDaDaDai()(1)()nnnDsiDa48()()nnIaDa()()nnIaDa乘以(1+i)()()()()mnmnIaDa乘以()mii乘以i()()nnIaDa()()()()mnmnIaDa乘以1/(1+)mi变额年金的计算496、连续支付、连续递增的年金（简称：连续递增年金）（continuouslyincreasingannuity）•假设在时刻t的付款率（paymentrate）为t，常数利息力为，则连续支付、连续递增年金的现值为：•注:I和a上都有横线。在时刻t的付款率为t，表示按此付款，1年的付款总量将为t.0()edntnIatt50•证明：0000e()eddeednnnttttnntIatttt201eenntn22ee1nnn1eennn()nnnanvIaev51•连续支付连续递增年金的终值为()(1)()nnn