八年级上册数学各章知识点总结

第1页共14页《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。即ax2，x叫做a的平方根。2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a的平方根用a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，a叫做a的负平方根。⑵一个正数有两个平方根：a（根指数2省略）0有一个平方根，为0，记作00，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a的平方根的运算。aa2==aa00aaaa2（0a）⑷a的双重非负性0a且0a（应用较广）例：yxx44得知0,4yx⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。区分：4的平方根为____4的平方根为________44开平方后，得____3.计算a的方法精确到某位小数　＝非完全平方类　　　＝完全平方类　　　　773294*若0ba，则ba（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a，呢么这个数叫做a的立方根，记作3a2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.第2页共14页3.开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。aa33aa3333aa（a取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。*０的平方根和立方根都是０本身。（三）推广：n次方根１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。２.正数的偶次方根有两个：na；０的偶次方根为０：00n；负数没有偶次方根。正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。（四）实数1.实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：①按属性分类：②按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如2②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001……思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15的整数部分为a,小数部分为b，则a=,b=。（4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；第3页共14页⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。3.实数大小比较的方法一、平方法：比较23和3的大小二、根号法：比较32和23的大小三、求差法：比较215和1的大小4.实数的三个非负性及性质(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。(2)非负数有三种形式①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数，即0a（3）非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0二、题型解析题型一、有关概念的识别例1.下面几个数：.1.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数题型二、计算类型题例2.设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.例3.计算：例4.先化简，再求值：11()babbaab，其中a=512，b=512．第4页共14页例5.若312a和331b互为相反数，求ba的值。题型三、实数非负性的应用例6．已知实数a、b、c满足，2|a-1|+2bc+2)21(c=0,,求a+b+c的值.例7.若111xxy，求x，y的值。例8.已知：=0，求实数a,b的值【变式1】522y2xxx，求xy的平方根和算术平方根。【变式2】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。题型四、数形结合题例9、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222()abab类型五、实数应用题例10．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。类型六、拓展提升例11.已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.例12.把下列无限循环小数化成分数：①②③第5页共14页二次根式1、二次根式：形如)0(aa的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、二次根式有关公式（1）)0()(2aaa（2）aa2（3）乘法公式)0,0(babaab（4）除法公式)0,0(bababa4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。3.互逆命题：题设、结论正好相反的两个命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。°（2）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半。（3）如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。（4）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC第6页共14页全等三角形知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。轴对称知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。第7页共14页)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、实数2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）角平分线上的点到角两边距离相等。（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。5.等腰三角形的判定：等角对等边。6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上，能够对生活中的图形进行分析鉴赏，亲身经历数学美，正确理解等腰三角形、等边三角形等的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题。实数1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作a。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。2.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。4.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。5.数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0)0,0(0,0babababaabba第8页共14页321000.0kbbb321000.0kbbb第十四章、一次函数知识概念1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。2.正比例函数一般式：y=kx（k≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线。3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k0时，直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k0时,y随x的增大而增大;当k0时,y随x的增大而减小。4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的实用价值和乐趣。函数基础知识知识能力解读知能解读(一)有序数对我们把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫作有序数对，记作,ab.注意对“有序”要理解准确，即两个数的位置不能随意交换，,ab与,ba中字母顺序不同，含义就不同，表示的位置也就不同.知能解读(二)平面直角坐标系(1)(2)(3)(1)(3)(2)第9页共14页第四象限第三象限第二象限第一象限x(横轴)y(纵轴)O-4-3-2-1-4-3-2-143214321(1)如图所示，在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴或