平行四边形典型例题

平行四边形典型例题【例1】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：△ABD和△CDE，△ADC和△CBA，△AOD和△BOC、△AOB和△COD．【答案】C【例2】如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E，求证：BO=OE．【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△COE≌△COB．已知OC为公共边，∠OCE=∠OCB，又易证∠E=∠EBC．问题得证．【证明】在□ABCD中，∵AB//CD，∴，又∵（角平分线定义）．∴，又∵，∴△≌△∴．说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等．本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．【例3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，求△DEC的面积．【解】在中，，、．在Rt△ABE中，，．∴，．∴．在△中，．∴．故．【例4】已知：如图，D是等腰△ABC的底边BC上一点，DE//AC，DF//AB．求证：DE+DF=AB．【分析】由于，，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证．【解】∵，∴四边形是平行四边形．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段．【例5】如图，已知：中，、相交于点，于，于，求证：．【分析】【解】因为四边形是平行四边形，所以，．又因为、交于点，所以．又因为，，所以．于是△≌△．从而．【例6】已知：如图，AB//DC，AC、BD交于O，且AC=BD。求证：OD=OC.证明：过B作交DC延长线于E，则。∵，，∴∵，∴∴∴∴说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”，由于位置交错而一时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE，得到等腰△BDE，使问题得解．【例7】如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．解：略。1OEDCBAOFEDCBA【例8】如图所示，□ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，证明：四边形EFGH是矩形。【例9】如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过顶点C，作BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E，交BD于G，证明：AC=CE。HGFEDCBAGOEDCBA