1.1.1正弦定理导学案(必修五)

§1.1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA，则sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，从而sinsinabABsincC．类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinsinabABsincC．试试：（1）在ABC中，一定成立的等式是（）．A．sinsinaAbBB.coscosaAbBC.sinsinaBbAD.coscosaBbA（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于，sinsincbCB，sinaAsincC．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb；sinC．（4）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边,,abc叫做.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．※典型例题例1.在ABC中，已知45A，60B，42acm，解三角形．变式：在ABC中，已知45B，60C，12acm，解三角形．例2.在6,45,2,,ABCcAabBC中，求和．变式：在3,60,1,,ABCbBcaAC中，求和．三、总结提升※学习小结1.正弦定理：sinsinabABsincC2．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※知识拓展sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径.学习评价※当堂检测1．根据下列条件，解△ABC.(1)已知b=4，c=8，B=30o；(2)已知B=30o，b=2，c=2；(3)已知b=6，c=9，B=45o.2.在△ABC中，解三角形(1)a=3，b=2，A=30o；(2)a=2，b=2，A=45o；(3)a=5，b=2，B=120o；(4)a=3，b=2，B=45o.3.在△ABC中，a:b:c=1:3:3，求2sinsinsinABC的值.4.在ABC中，若coscosAbBa，则ABC是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形5.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶3D．2∶2∶36.在△ABC中，若sinsinAB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定7.已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，则::abc=．8.已知ABC中，A60，3a，则sinsinsinabcABC=．(合比性质)9.在△ABC中,a=5,b=3,C=120o,则sinA:sinB的值是（）5335.B.C.D.3577A10.已知△ABC外接圆半径是2cm，A=60o,求BC边长.11.在△ABC中，22tantanaBbA，试判断△ABC的形状.12.已知coscosaAbB，试判定△ABC形状.课后作业1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为．