衍射衬度基本方程-衍射束强度计算

衍射束强度计算：完整晶体衍衬运动学基本方程推导。原子0（原点）位置与相位参照点（位矢=0，相位=0）原点1，位矢r1，相位φ1K0Kg原点2，位矢r2，相位φ2计算某散射元发射的衍射束的振幅矢量的条件：1.需要已知三个矢量：入射束波矢K0，衍射束波矢Kg，该散射元的位置（位矢r）。2.要确定位矢r，应先确定一个参考散射元。此散射元的位矢=0（坐标原点），相位也是0。注意，位置、时间、相位、速度、动量、能量等物理量的值都是相对的。角动量是绝对的。r13.某散射元相位的计算公式即rkkg02如图，K0·r是在入射束方向上该散射元衍射束比参考散射元的衍射束多走的光程（与波长之比），kg·r是该散射元的衍射束比参考散射元的衍射束在衍射方向上多走的光程与波长之比）。K0·rkg·r++电子0电子1原子核0原子核1电子源聚光镜，可以将焦点（电子源位置）上向各方向上发射的电子变成平行电子束，并且垂直于平行电子束的各点到焦点（电子源）的光程相同物镜物镜，可以将平行的电子束聚焦在焦平面上某点上，并且垂直于平行电子束的各点到此聚焦点的光程相同。计算各散射元某衍射束的强度（或振幅矢量），即计算该聚焦点的电子束强度（同时到达此处的电子数数目）。这需要计算两个量，一个是电子波在该点振幅，一个是在该点相位。聚焦点++电子0电子1原子核0原子核1电子源物镜电子运行路径0：从电子源到原子核0附近，被原子核0的引力散射后到达聚焦点，电子运动路径1：从电子源到原子核1附近，被原子核1的引力散射后到达同一聚焦点。注意到达在透镜后，从各方向汇聚到焦平面上某一点的各个电子，之前在透镜另一侧的运动方向是平行的。如果这两条路径的光程差是波长的整数倍（简而言之光程相同），则意味着，可以让电子源在间隔为一个时间周期的不同时刻发射电子同时通过该聚焦点。聚焦点++电子0电子1原子核0原子核1电子源物镜电子的波动性：如果入射电子束的振幅矢量为聚焦点)(exp(0wtxkiA这意味着电子源每隔1/w的时间沿着x方向（k0方向）发射m个速度为v的电子（m正比于A2），这样在k0方向上，电子束将以间隔长度为λ=v/w=1/k0的一列列团簇向前以速度v运动的形式出现。m个电子经过各原子核时，有一部分会受到电磁引力作用，因引力方向垂直于速度（近似描述），则运动方向偏转（即散射），而速度大小不变（弹性散射）。如果各个电子团簇经过各原子核的不同路径到达焦平面上某一聚焦点，而这些路径的光程差=λ的整数倍，则意味着可以让电子源在间隔为一个时间周期的不同时刻发射电子同时通过该聚焦点。原子核对电子的作用力（负号表示吸引），导致的散射主要是弹性散射。22rZeFn原子中电子对电子的作用力（正值表示排斥），导致的散射主要是非弹性散射。22reFe电子与原子核的作用力是与电子的作用力的Z倍，可见电子在物质中的弹性散射大于非弹性散射Z倍，Z越大，弹性散射就越重要。1.一个原子对电子的散射Z原子序数e电子电荷量r电子与核距离+rn2θ-re2θ定性解释：电子在一定动能（或波长λ）下，其散射角2θ与作用力Fn有关。如前所述，Fn=-Ze2/r2。即，被不同元素的原子核的以相同角度2θ散射的电子，受作用力Fn相同，因为Z不同，这样的电子距离原子核的距离rn也不同，从作用力公式看，被不同原子核散射同样角度的电子，其到原子核的距离rn与Z成正比，Z越大，距离越大，因在距离rn的长度为2πrn圆周上（图中圆圈）通过的所有电子都以2θ角度散射，所以以同样角度散射的电子数目越多。原子核弹性散射本领与原子序数Z成正比原子核对电子的散射电子对电子的散射+rn2θ原子核弹性散射本领与原子序数Z成正比（定量解释）原子核对电子的散射mvmvmvmvmv2θ2θ在单位时间内（时间=1），在垂直于入射束方向的截面积上通过的电子被以2θ的角度散射，动量的改变=Δmv=mΔv=2mvsinθ（如图），根据动量定理2mvsinθ=Fnt=Fn=-Ze2/r2（时间t=单位时间=1），得2θ很小sin2Zsin2Z222hemverh/λ=mv备注显然，通过以原子核为圆心、半径r以内的截面积的电子，都将以大于2θ的角度发生散射，即散射几率与面积πr2成正比。根据上式，散射几率与Z、λ成正比，与sin(θ)成反比。原子的散射因子f可根据相关文献查到。关于波长λ的影响波长越小，即电子动量越大，越不易被散射。+rn2θ原子核对电子的散射波长越小，同样作用力Fn（或距离同一原子核相同距离rn处散射角越小），如欲找到相同角度的散射电子，必须移至更近的距离，导致此角度散射的电子数目更少。定量解释？？备注2.一个晶胞对电子的散射njjgjgrkkifF10)(2exp(n：晶胞中原子个数fj：第j个原子对电子的散射因子（或原子散射振幅）。与原子序数Z、θ以及λ有关（如前所述），数据可查相关文献。rj：第j个原子的位置矢量kg：衍射波矢k0：入射波矢k0·rj是j原子衍射波比原点衍射波沿着入射方向多走的一段距离与λ之比，kg·rj是j原子衍射波比原点衍射波沿着衍射方向少走的一段距离与λ之比。晶胞在HKL方向（g）的散射振幅因子（简称散射因子，即散射电子振幅与入射电子振幅的系数关系因子）1（原点）2kg·rjk0·rjk0kgrj满足布拉格条件时=gHKL不是指数关系因子3.一层晶胞（单位面积）的散射单位面积晶层包含n个晶胞2.每个晶胞的面积=1/n，其入射束振幅1/cos(θ)（备注1）入射束2θ1.单位横截面积的入射束的振幅A0，它照射的晶层面积=1/cos(θ)，单位晶层面积的晶胞数=n，则单位横截面积的入射束照射到n/cos(θ)个晶胞上。备注3.入射束穿过晶胞将发生散射，则每个晶胞向原入射方向的透射束振幅从1减小至λ。而在2θ方向的散射束振幅为Fgλ/cos(θ)。（菲涅尔半波带法）。4.对于衍射方向，每个晶胞的衍射束之间的相位相同（相位=2nλ即认为相位相同），每个晶胞的振幅=Fgλ，所以这n个晶胞的衍射束合成振幅=nFgλθθ2θ衍射晶面λ/2λ/2AB晶面间距d=LB处微线段元相位=π入射到一个晶胞的入射束振幅大小=1C合成振幅大小=大圆直径=1合成振幅相位=π/2BA处微线段元子波相位=0（方向向右的箭头）微线段元间相位角=2πdL/LAAB间入射束合成振幅相位=π/2右图矢量AB代表左图AB之间各处入射波子波之间的合成振幅矢量=1；入射波（平面波）经过AB成为球面波，向各个方向发生散射。2θ衍射晶面λ/2λ/2AB晶面间距d=LB处微线段元相位=π入射到一个晶胞的入射束振幅大小=1CBA处微线段元子波相位=0（方向向右的箭头）AAC间的衍射波（平面波）是AB间球面波在2θ角的散射方向的相干散射波。AB间A点处入射波子波在AC间的A点处的衍射波子波相位是0，C点处衍射波子波相位是2π。从A到C，因为右图矢量AC代表左图AC之间各处衍射波子波之间的合成振幅矢量。C1)cos()cos(0ggnFAnFA6.所以单位面积晶层的这n个晶胞在衍射束方向上单位面积的衍射束振幅大小：3.一个晶柱对电子的散射0)cos(AnFAgn：每层晶体单位面积晶胞数目Fg：每个晶胞的结构因子。晶胞的散射振幅。λ：电子束波长θ：衍射半角（衍射角一半）A0：照在每个晶胞的入射束振幅，设为1晶柱分成若干平行晶层。每层厚度方向包含一个晶胞。每层单位面积的晶胞数=n，晶层几乎垂直于K0或Kg（衍射角很小），各晶胞的衍射束可认为同相位。则每层单位面积的晶体的衍射束振幅矢量大小倾斜因子结构因子晶柱单位面积（垂直入射束）晶胞数目为nK0KgKTt小晶胞第j层晶胞3.一个晶柱对电子的散射（晶层相位角计算）mjgggjakkinFi10)(2exp()cos(晶柱单位横截面积晶胞数目为nθK0第j层的KgKT总层数=m总厚度t=ma小晶胞第j层晶胞第j层晶体的衍射束振幅矢量大小如前所述，而振幅矢量相位角取决于第j层晶体与第1层晶体的光程差（设第1层晶体（上表层）的相位=0），相位角=2π(k0-kg)·ja。a是晶胞沿厚度方向的尺寸。ja即第j层晶体的位置矢量在厚度方向分量。k0·ja是第j层晶体衍射波比第1层晶体衍射波沿着入射方向多走的光程与λ之比，kg·ja是第j层晶体沿着衍射方向少走的光程与λ之比。厚度方向所有m层晶体的衍射波振幅之矢量和为第1层的KgjamjgggjakkiAnFi100)(2exp()cos(很多教科书上有i因子备注或者是带i因子的微分形式的公式（见ppt文件：材料现代分析方法005-3TEM图像衬度理论.pptdzrkkiAinFdggg)(2exp)cos(00一种解释（见下一ppt）关于i因子3.一个晶柱对电子的散射mjggjasginF1)(2exp()cos(如果kg不严格满足布拉格定律，即kg-k0=g+s（矢量加，g为倒易矢量，s为偏离矢量，与入射束平行），将此关系式带入前面的式子得到：Kgkg-k0=g+sK0gsmjgmjgsjainFjasjaginF11)2exp()cos()(2exp()cos(二者垂直，=0二者平行，去掉点乘负号4.用振幅圆描述各层晶体衍射束振幅矢量与合成矢量每层晶体的衍射矢量的大小相同)cos(gnF每层晶体的衍射矢量相位角比上一层多2π(k0-kg)·a=2πsa单位面积晶柱所有晶层的衍射波的合成振幅最大值只能等于1（前面已经设定单位面积晶层上入射电子束振幅大小=1）则此振幅圆周长为π。第k层时合成振幅最大（=1），此时圆弧（半圆）长=π/2=)cos(knFg)cos(gnF微弧长)cos(2knFgggnFnFk)cos(2)cos(22ggnFaka)cos(2合成振幅从最小到最大再到最小的一个周期变化经历的弧长=圆周长π这一个周期对应的深度为第2k层晶层，2k值为第2k层深度为2ka=ζg称为消光距离gcFV)cos(Vc是晶胞体积单位面积晶层（厚度a）总体积为1·a，则单位面积晶层晶胞数目n=a/Vc，带入上式得下式前k层晶层的合成衍射束振幅大小=π/2前2k层晶层的合成衍射束的振幅大小=πmjggsjainF1)2exp()cos(如前所述：单位面积晶柱的衍射束的总振幅矢量为mjgsjai1)2exp()2exp()sin()2exp()sin(stisstsjmaissmaggm是晶体厚度方向上总晶层层数，a是每层厚度（晶胞厚度），ma则是晶体总厚度t。厚度t推导过程参考备注上式就是完整晶体衍衬运动学基本方程。如前所述：单位面积晶柱的衍射束总强度Ig=ψg2222sintstsIgg