关于专插本高等数学知识点和例题

第一章极限、连续与间断本章主要知识点求极限的几类主要题型及方法连续性分析间断判别与分类连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。（1）题型IlimmxnPxPx方法：上下同除以x的最高次幂例．111313limxxxxx解：原式=111313limxxxxx=xxxxx11111313lim=3例．)214(lim2xxxx解：原式=xxxxx2141lim2=211411lim2xxxx=41例．xxxxxxx234234lim解：原式=xxxxx)21()43(1)21()43(1lim=1（2）题型II()lim()mxanpxpx原式=(),0(),()0,()0()()0mnnnmnmpapapapapapapa上下分解因式(或洛比达）,例．11lim31xxx解：令6ux，原式=322111(1)(1)limlim1(1)(1)uuuuuuuuu＝23例.2232lim221xxbxaxx解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim)2)(1()2(2lim2axxaaxxxxaxaxa=2,b=-4（3）题型III若0)(limxfax，)(xg有界0)()(limxgxfax例.22limarccot(sin(1))3xxxx解：因为2lim3xxx＝0，而2arccot(sin(1))x有界，所以原式＝0。例．202limln(1tan)cos()xxx解：因为ln(1tan)0x（0x），)2(cos2x有界，所以原式＝0．例．2006limsin(sin(2006))1xxxxx解因为01111lim1lim3xxxxxxxx，2006sin(sin(2006))x有界；原式＝0。（4）题型IV10lim(1)uuue识别此类题型尤为重要，主要特征为1未定式．步骤如下：例．xlim322()1xxx解：原式＝xlim(32)3(1)1xx＝xlim3(32)113311xxxx＝3(32)lim91xxxee．例．xlim221251()23xxxxx解：原式＝xlim2232(21)232332232123xxxxxxxxxx＝2(32)(21)lim623xxxxxee例．xxxx120)sin1(lim解：原式=1)sin1(lim1)sin(sin12022xxxxxxxx（5）题型V等价无穷小替换替换公式：)0(x221~cos1xxxx~arcsinxx~arctanxnxn1~11xx~)1ln(xex~1替换原则：乘除可换，加减忌换。例．30sinlimxxxx错解：30limxxxx=0例．1)5sin()21ln(lim202xxexx解：原式=252lim20xxxx=-20例．2320arctan121limxxx解：原式=220)2(31limxxx=32例．3942lim38xxx解：令8xu，则8xu原式＝0limu32742163uu＝0limu12711811343uu＝0limu27.3181.2134uu＝227例．xxxx30tansintanlim解：原式=2121lim)cos1(tanlim32030xxxxxxxx例.)21ln(102)(coslimxxx解：原式=222011(cos1)112ln(12)limcos1240lim(1cos1)xxxxxxxxee例.4312arctan1arcsinlim22xxxxx解：原式=23)1)(12()43(lim43121lim2222xxxxxxxxxx例.)11sin()cos(lim3sintan0xxeexxx解：原式=)11sin()cos()1(lim3sintansin0xxeexxxx=111lim3sintan0xexxx=03tansinlim112xxxx（6）题型VI洛必达法则（见导数相关内容）；（7）题型VII变上限积分有关积分（见积分相关内容）；二、极限应用—连续性分析定义：00lim()()xxfxfx变形：000(0)(0)()fxfxfx,其中0(0)fx分别表示左、右极限。例．221ln(12)sin,0sin2,01()01xxaxxxxfxbxxcxx，，若()fx在0x处连续，求,,abc解：201ln(12)(00)lim(sin)sin2xxfaxxx2001ln(12)limsinlim1sin2xxxaxxx由(00)(00)(0)fff得：41bce故41,,bcea为任意实数三、极限应用—间断识别及分类1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2．分类方法：（a）00(0)(0)fxfx，0x为可去间断；（b）00(0)(0)fxfx，0x为第一类间断，或称跳跃型间断；（c）)0(0xf、)0(0xf至少有一个不存在，0x为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断。例．xxxxftan)()(解：间断点为kx，2k，Zk,对于2kx，Zk,因为0)(lim2xfkx，所以2kx为可去间断。对于kx，当0k，即0x，xxxxtan)(lim0，0x可去间断；对于kx，当1k，即x，xxxxtan)(lim0,x可去间断；当0,1k，xxxkxtan)(lim，xk为第Ⅱ类无穷间断。例．11sin()xxfxex解：间断点1x，01110(10)sin(1)lim0xxfee，1110(10)sin(1)limxxfee。()fx在1x为Ⅱ类无穷间断。10lim()xfxe，x=0为可去间断点。例．)2)(1)(3()1ln(2)(xxxxxxf解：定义域为1x。间断点为2,1xx。因为)(lim1xfx，)(lim2xfx所以2,1均为)(xf的Ⅱ类无穷间断。例．xexxxf2122)(解：定义域为22x，间断点为2,2x对于2x，)(lim02xfx，2x为第Ⅱ类无穷间断；对于2x，xxxexxf2102022lim21)(lim，2x为第Ⅱ类间断。注：对2,2x仅考虑了其一个单侧极限。例．.0,,0,1,0,sin1)(21xexxxxxfx解：间断点是：2,,xZkkx，x=0是可能间断点。对于x=0，f(0+0)=21e,f(0-0)=,x=0为第Ⅱ类间断；对于,,Zkkxkxxf,)(lim为第Ⅱ类间断；对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第Ⅱ类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理：)(xf在闭区间ba,内连续，且0)()(bfaf，则)(xf在ba,至少有一零点，即存在),(bac，使得0)(cf。应用此定理需要注意以下几点：(0)()fx如何定义。)1(ba,区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。)2(验证)(xf在闭区间ba,上的连续性，)3(验证)(xf在两端的符号。)4(此定理不能确定)(xf是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证)(xf在ba,内的单调性（参见导数应用部分）例．证明：2xxe在1,0内有一实根证：构造2)(xxexf，1,0x易知)(xf在1,0上连续，且2)0(f，02)1(ef，故0)1()0(ff，由连续函数介值定理知，0)(xf在1,0有实根，即命题得证。例．证明2324xxx至少有一正根证明：令23)(24xxxxf，2,0x)(xf在2,0内连续，且4)2(,2)0(ff，0)2()0(ff由闭区间连续函数介值定理得，)(xf在2,0至少有一根，即命题得证。五、数列极限定理：对充分大的n成立，nnncba，如果Acannnnlimlim，那么Abnlim。例．)2211lim(222nnnnn解：因为12122112122222nnnnnnnnnn，21)1(2)1(lim121lim22nnnnn，所以，原式=1/2。第二章导数计算及应用本章主要知识点导数定义复合函数求导,高阶导数,微分隐函数,参数方程求导导数应用一、导数定义函数yfx在0xx处导数定义为左导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000右导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000导数)(0xf存在)(),(00xfxf有限且)()(00xfxf分段点求导必须应用定义。两个重要变形：1.0000()())limxxfxfxfxxx（2.若)(0xf存在，)()()()(lim0000xfnmhnhxfmhxfh例.若(1)2f，求00(12)(5)limhfhfxhh解：00(12)(5)limhfhfxhh＝(25)(1)14f例.若(0)2,(0)0,ff求0(2)lim1sin(3)1xfxx解：0(2)lim1sin(3)1xfxx＝00(2)(0)(2)(0)48lim2lim(0)1333sin32xxfxffxffxx例．23,0()2,0xxxfxxxx求(0)f解：200(0)(0)0(0)limlim1hhfhfhhfhh(0)(0)ff所以'(0)f不存在.例．||()2xfx，求0f解：2,0()2,0xxxfxx所以(0)f不存在。例．21sinsin,0()0,0xxxfxxx求0f。解：2001sinsinh1(0)limlimsinhhhhfhh不存在所以0f不存在例．如果12f，分析函数2(1)(13),0ln(1)()0,0(1)(12),01xfxfxxxfxxfxfxxe在x=0处的连续性。解：(00)f0(1)(12)lim2hfhfhh13(1(2))(1)(1)322ff所以f(x)在x=0处不连续。二、复合函数求导、高阶导数、微分1．复合函数中的层次关系识别正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。例．1sin(cos)xye由外及里y分为四层：1sincosex例．lnsin2yxxy分为一层：