九年级二次函数压轴专题训练(含答案)

九年级二次函数压轴专题训练10．（本题12分）抛物线C：y＝ax2－12x＋2与x轴交于A(4，0)、B两点，与y轴交于C点(1)求抛物线C的解析式(2)如图1，在第二象限的抛物线C上有一点P，OP交AC于点E，求PE∶OE的最大值(3)如图2，平移抛物线C，使其顶点为(0，－1)，得新抛物线C1，过y轴负半轴上一点F作直线与抛物线C1相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足分别为H、D．记△MFH、△DHF、△DFN的面积分别为S1、S2、S3，若S22＝4S1·S3，求F点的坐标（1）211242yxx（2）方法1：过P作PF⊥AB交AC于Q,证△PQE∽△OCE,得OC=2,PE∶OE=2111282PQxx,最大值为12方法2：过P作PG∥AC交OC于G,PE∶OE=CG:OC=12CG,当直线PG与抛物线有唯一公共点P时，CG取最大值.(3)解：C1：2114yx，设直线MN的解析式：ykxb，M11(,)xy，N22(,)xy联立2114ykxbyx，消去y整理得：24440xkxb，∴124xxk，1241xxb（）111111111()()()222SHMxyxxy，同理32212Sxy222222211()4(1)4Sbxxbkb∴13121212114(1)()()44SSxxyybkxbkxb22(1)(4)bkb∵22134SSS∴224(41)bkb=224(1)(4)bkb整理得：2440bb∴122bb即：F(0，2)24、（1）易知点B的坐标为3,0，则直线BD的解析式为443yx（2）当1a时，抛物线的解析式为223yxx，设点2,23Pmmm，且03m则点4,43Qmm∴2224216442373339PQmmmmmm∴当13m时，PQ的最大值为649，此时8BECE（3）当14a时，抛物线解析式为221117124424yxxx易知点1,1P由21171424xxkxk得242430xkxk设点11,Mxy22,Nxy且12xx则1242xxk，1243xxk过点P作x轴平行线，过点M、N分别作y轴平行线交于点E、F，设FPN，则cosPEPM，cosPFPN，cosEFMN∴121212221121211111coscoscos4xxxxxxPMPNPEPFMNEFxxxxxx=241cos41k又易知21cos1k，∴1PMPNMNFEyxPNM1、如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点B（3，-3）.（1）求顶点A的坐标；（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB=45°，求点P坐标；（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．解：(1)依题意-32+3m+m-2=-3∴m=2∴y=-x2+2x∴顶点A（1，1）(2)过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H∵∠PAB=45°∴BA=BQxy第24题图（1）xy第24题图（2）∴△ABG≌△BQH∴AG=BH=2，BG=QH=4∴Q（-1，-5）∴直线AP的解析式为y=3x-2联立{y=−x2+2xy=3x−2∴-x2+2x=3x-2∴x1=1,x2=-2∵P在对称轴左侧的抛物线上∴P（-2，-8）（3）∵直线OA的解析式为y=x∴可设新抛物线解析式为y=-(x-a)2+a联立{y=−(x−a)2+ay=x∴-(x-a)2+a=x∴x1=a,x2=a-1即C,D两点横坐标的差是常数1∴CD=√22、已知，如图1，二次函数y＝ax2＋2ax－3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、Bxyxy第24题图GQH两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：333xy对称(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上(2)求二次函数解析式(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值解：(1)(1)A点坐标为(－3，0)，B点坐标为(1，0)当x＝3时，y＝0点A在直线l上(2)∵点H、B关于过A点的直线l：333xy对称∴AH＝AB＝4过顶点H作HC⊥AB交AB于C点则AC＝21AB＝2，HC＝32∴顶点H(－1，32)代入二次函数解析式，解得23a∴二次函数解析式为2333232xxy(3)直线AH的解析式为333xy直线BK的解析式为33xy由33333xyxy，解得323yx则BK＝4∵点H、B关于直线AK对称，K(3，32)∴HN＋MN的最小值是MB，KD＝KE＝32过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E则QM＝MK，QE＝EK＝32，AE⊥QK∴根据两点之间线段最短得出BM＋MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值∵BK∥AH∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°由勾股定理得822QKBKQB∴HN＋NM＋MK的最小值为824.（洪山期中）如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式(2)点M(m，0)为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积(3)已知H(0，－1)，点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F．若BF＝BC，求点G的坐标解：（1）由已知条件可得:其对称轴为：x=-1,∵AB=4∴A(-3，0),B(1，0)∵OC=OB,∴C（0，3)------2分代之得：a=-1c=3------3分∴此二次函数的解析式为y=223xx----------4分（2）由抛物线y=-x2-2x+3可知，对称轴为x=-1．∵M（m，0），∴PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（-m2-2m+3-2m-2）×2=-2m2-8m+2．∵-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10，∴矩形的周长最大时，m=-2．∵A（-3，0），C（0，3），设直线AC的解析式y=kx+b，∴-3k+b=0b=3解得k=l，b=3，∴解析式y=x+3，令x=-2，则y=1，∴E（-2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=12AM×EM=12（3）作BK⊥CF,由直线HG⊥CF∴HG∥BK有三线合一得FK=CK∴CT=HT∴T（0，1）∴直线BK解析式为y=-x+1，∴直线HG解析式为y=-x-1，2123yxyxx11721172xy11721172xy∴G（1172，1172）或G（1172，1172）．24．(12分)如图，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．⑴求点A和点B的坐标；⑵过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O→C→A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．解.（1）由题意知，A点的坐标满足：yx74yx3，解得A点的坐标为：(3，4)，将y=0代入一次函数得B点的坐标为：（7,0）。（2）①根据题意可分为两种情况讨论：（Ⅰ）如图1所示，第24题图yAOBx当P在OC上时，点P运动t秒，所以OP=BR=t，所以APRACOBABRPORACPSSSSS梯形=12(3+7)×4-12×4t-12(7-t)t-12×3(4-t)=8化简得：2t-8t+12=0，解得t=2或6（舍去）。（Ⅱ）当P在AC上时，点P运动t秒，所以AP=AC-CP=3-(t-4)=7-t，BR=t，APR1SAPOC2=14-2t=8，解得t=3，当t=3时，P在OC上，所以舍去t=3。综上所述，当t=2秒时，APRS=8②如图1所示，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点A作AD⊥l，垂足为D，由（1）知，AM=4，BM=7-3=4，所以∠ABM=45º，根据题意可分为两种情况讨论：（1）当0≤t4时，在Rt△BRQ中，QR=BR=t=OP，所以四边形PQOR是矩形，所以PQ=7-t，由勾股定理得：AQ=2(4-t)，在Rt△ACP中，由勾股定理可得：222APACCP=9+24t=2t-8t+25，PQ=7-t，若AP=PQ，则2t-8t+25=7-t，解得t=4，舍去；若AQ=PQ，则2(4-t)=7-t，解得1t=1+32（舍去），2t=1-32（舍去）；若AQ=AP，则2(4-t)=2t-8t+25，解得1t=1，2t=7（舍去）。（Ⅱ）当4≤t7时，P在AC上，Q在OA上，如图2所示，设直线l交AC于点E，因为tan∠AOM=tan∠CAO=AMOM=43=EQAE，AE=7-t，所以EQ=43（7-t），根据勾股定理得：AQ=53(t-4)，若AQ=AP，则7-t=53(t-4)，解得t=418；若AQ=PQ，则AE=PE，即AE=12AP，得t-4=12（7-t），解得t=5；若AP=PQ，则过点P作PF⊥AQ，垂足为F，AF=12AQ=56(t-4)，在Rt△APF中，由cos∠PAF=AFAP=35，得AF=35AP，即12×53(t-4)=35（7-t），解得t=22643.2、如图1，二次函数22(x2mx3m)ya（其中a、m为常数，且a0，m0）的图像与x轴分别交于A、B两点（点A位于点B左侧），与y轴交于点C（0，-3），点D在二次函数图像，且CDAB，连接AD，过点A做射线AE交二次函数与点E，AB平分DAE(1)当1a时，求点D的坐标(2)证明：无论a、m为何值，点E在同一条直线上(3)设该二次函数图像顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边的三角形是以AE为斜边的直角三角形？若果存在，请用含m的式子表示点P的横坐标，如果不存在，请说明理由解析：